Para cada item a seguir, faça o que se pede.
(i) Determine o gradiente de
.
(ii) Calcule o gradiente no ponto
.
(iii) Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
a)
b)
c)
d)
e)
(i) Determine o gradiente de
(ii) Calcule o gradiente no ponto
(iii) Determine a taxa de variação de
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede, para cada função de duas variáveis, (i) calcular o gradiente
, (ii) avaliar esse gradiente no ponto
dado e (iii) obter a taxa de variação direcional de
em
na direção do vetor
. Vamos usar que
– o gradiente é , obtido pelas derivadas parciais;
– a derivada direcional em na direção de
é
– o gradiente é
– a derivada direcional em
onde
é o vetor unitário associado a
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e escrevemos
para cada caso:
a)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 3
Avaliamo
nos pontos dados:
a) em :
a) em
b) em
:
c) em
:
d) em
:
e) em
:
Passo 4
Normalizamos cada vetor
:
a) ,
,
.
b) ,
,
.
c) ,
,
.
d) ,
,
.
e) ,
,
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 5
Calculamos
:
a)
a)
b)
c)
d)
e)
Resposta
(a)
,
,
.
(b) ,
,
.
(c) ,
,
.
(d) ,
,
.
(e) ,
,
.
(b)
(c)
(d)
(e)