Para cada item a seguir, faça o que se pede.
(i) Determine o gradiente de f.
(ii) Calcule o gradiente no ponto P.
(iii) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor \vec{v}.
a) f(x, y)=\frac{x}{y}, P(2,1), \vec{v}=(3,-4)
b) f(s, t)=s \sqrt{t}, P(2,4), \vec{v}=(2,-1)
c) f(x, y)=x^{2} e^{y}, P(3,0), \vec{v}=(3,-4)
d) f(x, y)=x^{2} \ln (y), P(3,1), \vec{v}=(-5,12)
e) f(u, v)=u^{2} e^{-v}, P(3,0), \vec{v}=(3,4)

Passo 1

O enunciado pede, para cada função de duas variáveis, (i) calcular o gradiente \nabla f, (ii) avaliar esse gradiente no ponto P dado e (iii) obter a taxa de variação direcional de f em P na direção do vetor \vec v. Vamos usar que
– o gradiente é \nabla f=(f_x,f_y), obtido pelas derivadas parciais;
– a derivada direcional em P na direção de \vec v é
D_{\vec v}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf u,
onde \mathbf u=\vec v/\|\vec v\| é o vetor unitário associado a \vec v.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e escrevemos \nabla f para cada caso:
a) f(x,y)=\dfrac{x}{y}
\nabla f(x,y) =\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{y},\,\frac{\partial}{\partial y}\frac{x}{y}\Bigr) =\Bigl(\frac{1}{y},\,-\frac{x}{y^2}\Bigr).
b) f(s,t)=s\sqrt{t}
\nabla f(s,t) =\Bigl(\sqrt{t},\,\frac{s}{2\sqrt{t}}\Bigr).
c) f(x,y)=x^2e^y
\nabla f(x,y) =\Bigl(2x\,e^y,\;x^2e^y\Bigr).
d) f(x,y)=x^2\ln(y)
\nabla f(x,y) =\Bigl(2x\ln(y),\;\frac{x^2}{y}\Bigr).
e) f(u,v)=u^2e^{-v}
\nabla f(u,v) =\Bigl(2u\,e^{-v},\;-u^2e^{-v}\Bigr).

Passo 3

Avaliamo \nabla f nos pontos dados:
a) em P(2,1):
\nabla f(2,1)=\Bigl(\frac{1}{1},-\frac{2}{1^2}\Bigr)=(1,-2).
b) em P(2,4):
\nabla f(2,4)=\Bigl(\sqrt{4},\,\frac{2}{2\sqrt{4}}\Bigr)=(2,\tfrac12).
c) em P(3,0):
\nabla f(3,0)=(2\cdot3\,e^0,\;3^2e^0)=(6,9).
d) em P(3,1):
\nabla f(3,1)=(2\cdot3\ln1,\;\tfrac{3^2}{1})=(0,9).
e) em P(3,0):
\nabla f(3,0)=(2\cdot3\,e^0,\;-3^2e^0)=(6,-9).

Passo 4

Normalizamos cada vetor \vec v:
a) \vec v=(3,-4), \|\vec v\|=5,
\mathbf u=(3/5,-4/5).
b) \vec v=(2,-1), \|\vec v\|=\sqrt5,
\mathbf u=(2/\sqrt5,-1/\sqrt5).
c) \vec v=(3,-4), \|\vec v\|=5,
\mathbf u=(3/5,-4/5).
d) \vec v=(-5,12), \|\vec v\|=13,
\mathbf u=(-5/13,12/13).
e) \vec v=(3,4), \|\vec v\|=5,
\mathbf u=(3/5,4/5).

Passo 5

Calculamos D_{\vec v}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf u:
a)
D_{\vec v}f(2,1) =(1,-2)\cdot(3/5,-4/5) =\frac{3+8}{5} =\frac{11}{5}.
b)
D_{\vec v}f(2,4) =(2,\tfrac12)\cdot\bigl(2/\sqrt5,-1/\sqrt5\bigr) =\frac{4-\tfrac12}{\sqrt5} =\frac{7}{2\sqrt5}.
c)
D_{\vec v}f(3,0) =(6,9)\cdot(3/5,-4/5) =\frac{18-36}{5} =-\frac{18}{5}.
d)
D_{\vec v}f(3,1) =(0,9)\cdot(-5/13,12/13) =\frac{108}{13}.
e)
D_{\vec v}f(3,0) =(6,-9)\cdot(3/5,4/5) =\frac{18-36}{5} =-\frac{18}{5}.

Resposta

(a) \nabla f(x,y)=\bigl(\tfrac1y,\,-\tfrac{x}{y^2}\bigr), \nabla f(2,1)=(1,-2), D_{\vec v}f(2,1)=\tfrac{11}{5}.
(b) \nabla f(s,t)=(\sqrt{t},\,\tfrac{s}{2\sqrt{t}}), \nabla f(2,4)=(2,\tfrac12), D_{\vec v}f(2,4)=\tfrac{7}{2\sqrt5}.
(c) \nabla f(x,y)=(2x\,e^y,\,x^2e^y), \nabla f(3,0)=(6,9), D_{\vec v}f(3,0)=-\tfrac{18}{5}.
(d) \nabla f(x,y)=(2x\ln y,\,\tfrac{x^2}{y}), \nabla f(3,1)=(0,9), D_{\vec v}f(3,1)=\tfrac{108}{13}.
(e) \nabla f(u,v)=(2u\,e^{-v},\,-u^2e^{-v}), \nabla f(3,0)=(6,-9), D_{\vec v}f(3,0)=-\tfrac{18}{5}.

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