Determine a equação do plano tangente à superfície z no ponto P dado.
z=\frac{2 \sqrt{y}}{x}, P(-1,1,-2)

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por
z = \frac{2\sqrt{y}}{x}
e pede o plano tangente em P(-1,1,-2). Para isso vamos usar derivadas parciais de f(x,y)=2x^{-1}y^{1/2} e a fórmula
z = z_0 + f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0).

Passo 2

Calculamos \displaystyle f_x(x,y). Como
f(x,y) = 2\,x^{-1}y^{1/2},
temos
\frac{\partial f}{\partial x} = 2\,y^{1/2}\,\frac{d}{dx}(x^{-1}) = 2\,y^{1/2}\,(-1)x^{-2} = -2\,\frac{\sqrt{y}}{x^2}.
Em P(-1,1) isso vale
f_x(-1,1) = -2\,\frac{\sqrt{1}}{(-1)^2} = -2.

Passo 3

Agora \displaystyle f_y(x,y). Usando
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2\,x^{-1}y^{1/2}\bigr) = 2\,x^{-1}\,\frac12\,y^{-1/2} = x^{-1}y^{-1/2},
e em P(-1,1) obtemos
f_y(-1,1) = (-1)^{-1}\cdot1^{-1/2} = -1.

Passo 4

Substituindo na fórmula do plano tangente com (x_0,y_0,z_0)=(-1,1,-2):
z = -2 \;+\;(-2)\,(x+1)\;+\;(-1)\,(y-1).
Expandindo:
z = -2 -2x -2 -y +1 = -2x -y -3.

Resposta

A equação do plano tangente é
\boxed{z = -2x - y - 3}.

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