Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função de classe C^{2}. Calcule g_{u} e g_{v} em função de f_{x} e f_{y} nos seguintes casos:
g(u, v)=f(\operatorname{sen}(u+v), \cos (u-v))

Passo 1

O enunciado define uma função f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} de classe C^2 e quer as derivadas parciais de
g(u,v)=f\bigl(\sin(u+v),\,\cos(u-v)\bigr).
O conteúdo é a regra da cadeia em múltiplas variáveis. Para aplicar, vamos introduzir variáveis intermediárias
\displaystyle x=\sin(u+v) e \displaystyle y=\cos(u-v) e depois derivar.

Passo 2

Definimos
x(u,v)=\sin(u+v),\quad y(u,v)=\cos(u-v).
Calculamos as derivadas parciais de x e y:
\frac{\partial x}{\partial u}=\cos(u+v),\quad \frac{\partial x}{\partial v}=\cos(u+v),
\frac{\partial y}{\partial u}=-\sin(u-v),\quad \frac{\partial y}{\partial v}=\sin(u-v).

Passo 3

Pela regra da cadeia,
g_u(u,v) =\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x,y\bigr)\,\frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x,y\bigr)\,\frac{\partial y}{\partial u}.
Substituindo os valores de \partial x/\partial u e \partial y/\partial u, obtemos
g_u(u,v) =f_x\bigl(\sin(u+v),\cos(u-v)\bigr)\,\cos(u+v) \;+\; f_y\bigl(\sin(u+v),\cos(u-v)\bigr)\,(-\sin(u-v)),
ou seja
g_u(u,v) = f_x(\sin(u+v),\cos(u-v))\,\cos(u+v) -\;f_y(\sin(u+v),\cos(u-v))\,\sin(u-v).

Passo 4

De modo análogo para g_v,
g_v(u,v) =f_x\bigl(x,y\bigr)\,\frac{\partial x}{\partial v} +\;f_y\bigl(x,y\bigr)\,\frac{\partial y}{\partial v}
e com \partial x/\partial v=\cos(u+v), \partial y/\partial v=\sin(u-v) vem
g_v(u,v) = f_x(\sin(u+v),\cos(u-v))\,\cos(u+v) +\;f_y(\sin(u+v),\cos(u-v))\,\sin(u-v).

Resposta

g_u(u,v)=f_x(\sin(u+v),\cos(u-v))\,\cos(u+v)\;-\;f_y(\sin(u+v),\cos(u-v))\,\sin(u-v)
g_v(u,v)=f_x(\sin(u+v),\cos(u-v))\,\cos(u+v)\;+\;f_y(\sin(u+v),\cos(u-v))\,\sin(u-v)

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