Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função de classe C^{2}. Calcule g_{u} e g_{v} em função de f_{x} e f_{y} nos seguintes casos:
g(u, v)=f\left(u^{2}, v^{3}\right)

Passo 1

O enunciado define
g(u,v)=f\bigl(u^{2},\,v^{3}\bigr),
onde f é de classe C^{2}. Queremos as derivadas parciais \,g_{u} e \,g_{v} em função de f_{x} e f_{y}. Para isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis: se
g(u,v)=f\bigl(x(u,v),\,y(u,v)\bigr),
então
g_{u}=f_{x}(x,y)\,x_{u}+f_{y}(x,y)\,y_{u}, \quad g_{v}=f_{x}(x,y)\,x_{v}+f_{y}(x,y)\,y_{v}.

Passo 2

Identificamos as funções de composição
x(u,v)=u^{2}, \quad y(u,v)=v^{3}.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial x}{\partial u}=2u, \quad \frac{\partial y}{\partial u}=0.
Substituindo na regra da cadeia, obtemos
g_{u} =f_{x}\bigl(u^{2},v^{3}\bigr)\cdot2u +f_{y}\bigl(u^{2},v^{3}\bigr)\cdot0 =2u\,f_{x}\bigl(u^{2},v^{3}\bigr).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas em relação a v. Primeiro,
\frac{\partial x}{\partial v}=0, \quad \frac{\partial y}{\partial v}=3v^{2}.
Aplicando a regra da cadeia, fica
g_{v} =f_{x}\bigl(u^{2},v^{3}\bigr)\cdot0 +f_{y}\bigl(u^{2},v^{3}\bigr)\cdot3v^{2} =3v^{2}\,f_{y}\bigl(u^{2},v^{3}\bigr).

Resposta

g_{u}(u,v)=2u\,f_{x}\bigl(u^{2},v^{3}\bigr), \quad g_{v}(u,v)=3v^{2}\,f_{y}\bigl(u^{2},v^{3}\bigr).

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