Em cada item a seguir, faça o que se pede:
I . Determine: um conjunto de geradores de U cap W.
V=R^3, U=(x, y, z) in R^3 ; x-y=z e W=[(1,-1,-1)]

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores de
Ucap W,
onde
U=(x,y,z)in R^3;;x-y=z e W=span(1,-1,-1)
O conteúdo envolve parametrizar subespaços em R^3 e resolver a condição de interseção.

Passo 2

Primeiro, parametrizamos U. Da condição x - y = z temos
x = y + z,
logo um vetor em U pode ser escrito como
(x,y,z) = (y+z,,y,,z) = y,(1,1,0) + z,(1,0,1)
Assim
U = span(1,1,0),,(1,0,1)
W = ,t,(1,-1,-1)mid tin R

Passo 3

Um vetor v em Ucap W deve ser simultaneamente
v = y,(1,1,0) + z,(1,0,1) e v = t,(1,-1,-1)
Comparando coordenadas em v=(x,y,z), da forma t,(1,-1,-1)=(t,-t,-t) e da forma (y+z,y,z) obtemos o sistema
y + z = t, y = -,t, z = -,t

Passo 4

Das duas últimas equações vem y=z=-t. Substituindo na primeira:
(-t) + (-t) = t Longrightarrow -2t = t Longrightarrow 3t = 0 Longrightarrow t = 0
Logo v = 0, e
Ucap W = (0,0,0)

Passo 5

Como Ucap W é o subespaço trivial, qualquer conjunto cujo span seja 0 gera essa interseção. Por simplicidade escolhemos o próprio zero como gerador.

Resposta

Um conjunto de geradores de Ucap W é
(0,0,0)

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