Diagonalize os seguintes operadores lineares e encontre a base onde a matriz diagonal aparece:
[T]=[ll-2 & 1 -5 & 4],

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar o operador linear cuja matriz na base canônica é
[T] = -2 & 1 -5 & 4
O conteúdo envolve diagonalização de matrizes: vamos encontrar autovalores ( lambda) e autovetores para montar uma base em que a matriz fica diagonal.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
detl([T]-lambda Ir) =det -2-lambda & 1 -5 & 4-lambda =( -2-lambda)(4-lambda)-1cdot(-5)
Expandindo,
( -2-lambda)(4-lambda)+5 =lambda^2-2lambda-3
Então resolvemos
lambda^2-2lambda-3=0 Longrightarrow lambda=2pmraiz4+122=3,-1

Passo 3

Agora encontramos os autovetores.
Para , resolvemos
daí , ou seja . Um autovetor não-nulo é
Para , resolvemos
daí , ou seja . Um autovetor não-nulo é

Passo 4

Os vetores v1 e v2 são linearmente independentes e formam uma base B=v1,v2. Na base B, a matriz de T é diagonal com entradas iguais aos autovalores correspondentes.

Resposta

A base que diagonaliza T é
B=15,;11,
e a matriz diagonal na base B é
[T]B = 3 & 0 0 & -1

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