Diagonalize os seguintes operadores lineares e encontre a base onde a matriz diagonal aparece:
,
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar o operador linear cuja matriz na base canônica é
O conteúdo envolve diagonalização de matrizes: vamos encontrar autovalores (
lambda ) e autovetores para montar uma base em que a matriz fica diagonal.
Passo 2
Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
Expandindo,
Então resolvemos
Passo 3
Agora encontramos os autovetores.
Para
, resolvemos
daí
, ou seja
. Um autovetor não-nulo é
Para
, resolvemos
daí
, ou seja
. Um autovetor não-nulo é
Passo 4
Os vetores
v1 e
v2 são linearmente independentes e formam uma base
B=v1,v2 . Na base
B , a matriz de
T é diagonal com entradas iguais aos autovalores correspondentes.
Resposta
A base que diagonaliza
T é
e a matriz diagonal na base
B é