Em cada item a seguir, faça o que se pede:
I . Determine: a) as equações que caracterizam
, se possível.
b) um conjunto de geradores de
.
II .Verifique se: a
b)
é soma direta.
e
I . Determine: a) as equações que caracterizam
b) um conjunto de geradores de
II .Verifique se: a
Passo 1
O enunciado define em
dois subespaços
Queremos (I.a) caracterizar
por equações, (I.b) gerar
, e em (II) verificar se
e se a soma é direta. Vamos usar que
-
. -
são os vetores que satisfazem simultaneamente as equações de e de . - A soma é direta se e só se
.
Passo 2
Para achar uma equação de
, tome
Em
temos
e
, ou seja
. Então
Chamando este vetor genérico de
, vemos que sempre
Não há nenhuma outra restrição sobre
. Logo
Passo 3
Para
impomos simultaneamente
e
Como
e
, a condição
vale trivialmente, e sobra
. Portanto
Um conjunto de geradores é
.
Passo 4
Para ver se
, basta notar que
exige
, enquanto
não tem essa restrição. Logo
Passo 5
Como acabamos de ver,
não é só o vetor nulo (vem a reta gerada por
), concluímos que a soma não é direta.
Resposta
I.a)
I.b) Um conjunto de geradores de é
II.a)
II.b) não é soma direta.
I.b) Um conjunto de geradores de
II.a)
II.b)