Em cada item a seguir, faça o que se pede:
I . Determine: a) as equações que caracterizam U+W, se possível.
b) um conjunto de geradores de U cap W.
II .Verifique se: a ) U+W=V b) U+W é soma direta.
V=R^4, U=(x, y, z, w) in R^4 ; x+y=w-z=0 e W=(x, y, z, w) in R^4 ; z=0=w

Passo 1

O enunciado define em V=R^4 dois subespaços
U=(x,y,z,w)mid x+y=0,;w-z=0, W=(x,y,z,w)mid z=0,;w=0
Queremos (I.a) caracterizar U+W por equações, (I.b) gerar Ucap W, e em (II) verificar se U+W=V e se a soma é direta. Vamos usar que
  • U+W=u+wmid uin U,;win W.
  • Ucap W são os vetores que satisfazem simultaneamente as equações de U e de W.
  • A soma é direta se e só se Ucap W=0.

Passo 2

Para achar uma equação de U+W, tome
u=(x1,y1,z1,w1)in U, w=(x2,y2,0,0)in W
Em U temos x1+y1=0 e w1-z1=0, ou seja w1=z1. Então
u+w=(x1+x2,;y1+y2,;z1,;w1) =(x1+x2,;y1+y2,;z1,;z1)
Chamando este vetor genérico de (x,y,z,w), vemos que sempre
w=z
Não há nenhuma outra restrição sobre x,y,z. Logo
U+W=(x,y,z,w)inR^4mid w-z=0

Passo 3

Para Ucap W impomos simultaneamente
x+y=0, w-z=0,
e
z=0, w=0
Como z=0 e w=0, a condição w-z=0 vale trivialmente, e sobra x+y=0. Portanto
Ucap W=(x,y,0,0)mid x+y=0 =t(1,-1,0,0)mid tinR
Um conjunto de geradores é (1,-1,0,0).

Passo 4

Para ver se U+W=V, basta notar que U+W exige w=z, enquanto V não tem essa restrição. Logo
U+Wneq V

Passo 5

Como acabamos de ver, Ucap W não é só o vetor nulo (vem a reta gerada por (1,-1,0,0)), concluímos que a soma não é direta.

Resposta

I.a) U+W=(x,y,z,w)inR^4mid w-z=0
I.b) Um conjunto de geradores de Ucap W é (1,-1,0,0)
II.a) U+Wneq V
II.b) U+W não é soma direta.

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