Sejam
A=[lll 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2 ], X=[l x1 x2 x3 ], B1=[l 1 2 3 ], B2=[r 0 -2 -1 ], B3=[r -2 2 0 ]
(a) Determine, se possível, a inversa de A.
(b) Utilize o item (a) para resolver a equação matricial A X=Bk para k=1,2,3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A= 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 2
é invertível e, em caso afirmativo, calcular A^-1. Em seguida, usar essa inversa para resolver os sistemas matriciais
A,X = Bk, k=1,2,3,
onde
B1=123, B2=0-2-1, B3=-220

Passo 2

Calcular o determinante de A. Usando a expansão pela primeira linha:
det(A) =1cdotdet1&21&2 -2cdotdet1&20&2 +3cdotdet1&10&1 =1,(1cdot2-2cdot1)-2,(1cdot2-2cdot0)+3,(1cdot1-1cdot0) =-1
Como det(A)=-1neq0, concluímos que A é invertível.

Passo 3

Para obter A^-1 usamos a fórmula A^-1 = 1det(A)adj(A).
  1. Montamos a matriz de cofatores de A:
Cof(A)= 0 & -2 & 1 -1 & 2 & -1 1 & 1 & -1
  1. Tomamos a transposta para ter a adjunta:
adj(A)=Cof(A)^T = 0 & -1 & 1 -2 & 2 & 1 1 & -1 & -1
  1. Finalmente,
A^-1=1-1, 0 & -1 & 1 -2 & 2 & 1 1 & -1 & -1 = 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1

Passo 4

Agora resolvemos Xk = A^-1Bk para cada k.
  1. Para B1:
X1 = 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1 123 =0cdot1+1cdot2-1cdot32cdot1-2cdot2-1cdot3-1cdot1+1cdot2+1cdot3 =-1-54
  1. Para B2:
X2 = 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1 0-2-1 =0-2+10+4+10-2-1 =-15-3
  1. Para B3:
X3 = 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1 -220 =0+2+0-4-4+02+2+0 =2-84

Resposta

(a)
A^-1 = 0 & 1 & -1 2 & -2 & -1 -1 & 1 & 1
(b)
X1=-1-54, X2=-15-3, X3=2-84

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