Em cada item a seguir, faça o que se pede:
I . Determine: a) as equações que caracterizam , se possível.
b) um conjunto de geradores de .
II .Verifique se: a b) é soma direta. e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com espaços vetoriais, especificamente com , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Temos dois subespaços:
Vamos precisar entender como somar subespaços (), encontrar a interseção deles (), e verificar algumas propriedades sobre essa soma. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como geração de espaços, soma de subespaços e soma direta.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar as equações que caracterizam . A soma de dois subespaços e é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de .
Vamos expressar isso matematicamente:
Um elemento de é da forma com , ou seja, . Então, podemos reescrever como:
Um elemento de é uma combinação linear dos geradores e :
Agora, somando e :
As equações que caracterizam são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar um conjunto de geradores para [U \cap W), ou seja, todos os polinômios que estão tanto em quanto em .
Um polinômio está em se ele pode ser escrito de duas maneiras:
Em :
Em :
Igualando as duas expressões:
Isso nos dá o sistema:
Da segunda equação, . Mas como , então .
Portanto, os elementos em são da forma:
Podemos escrever isso como:
Então, um conjunto de geradores para é .
Passo 4
Vamos agora verificar se U + W = V . Ou seja, se toda função em P2(R) pode ser escrita como a soma de um elemento de U e um elemento de W .
Sabemos que:
dim(V) = 3
(porque P2(R) tem a base 1, t, t^2 ).
Calculando as dimensões de U e W :
dim(U) = 2 (já que temos duas variáveis livres: x e z )
dim(W) = 2 (dois geradores, que são linearmente independentes)
A fórmula da dimensão da soma é:
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W)
Como dim(U cap W) = 1 (pois U cap W é gerado por um polinômio), temos:
dim(U + W) = 2 + 2 - 1 = 3
Como dim(U + W) = dim(V) , concluímos que U + W = V .
Passo 5
Por último, vamos verificar se a soma U + W é direta. Para isso, precisamos ver se U cap W = 0 .
Já vimos que:
U cap W = span t^2 + t
Isso significa que U cap W contém mais que apenas o vetor zero (o polinômio nulo). Portanto, a soma não é direta.