Em cada item a seguir, faça o que se pede:
I . Determine: a) as equações que caracterizam U+W, se possível.
b) um conjunto de geradores de U cap W.
II .Verifique se: a ) U+W=V b) U+W é soma direta.
V=P2(R), U=x t^2+y t+z in P2(R) ; x-y=0 e W=lfloor t^2-1, t+1 mid

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com espaços vetoriais, especificamente com V = P2(R) , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Temos dois subespaços:
  • U = xt^2 + yt + z in P2(R) ;|; x - y = 0
  • W = span t^2 - 1, t + 1
Vamos precisar entender como somar subespaços ( U + W ), encontrar a interseção deles ( U cap W ), e verificar algumas propriedades sobre essa soma. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como geração de espaços, soma de subespaços e soma direta.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as equações que caracterizam U + W . A soma de dois subespaços U e W é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U e um vetor de W .
Vamos expressar isso matematicamente:
Um elemento de U é da forma xt^2 + yt + z com x - y = 0 , ou seja, y = x . Então, podemos reescrever U como:
U = xt^2 + xt + z ;|; x, z in R
Um elemento de W é uma combinação linear dos geradores t^2 - 1 e t + 1 :
W = a(t^2 - 1) + b(t + 1) ;|; a, b in R
= at^2 + bt + (-a + b) ;|; a, b in R
Agora, somando U e W :
U + W = (xt^2 + xt + z) + (at^2 + bt + (-a + b)) ;|; x, z, a, b in R
= (x + a)t^2 + (x + b)t + (z - a + b) ;|; x, z, a, b in R
As equações que caracterizam U + W são:
Coeficiente de t^2: & x + a Coeficiente de t: & x + b Termo constante: & z - a + b

Passo 3

Agora, vamos encontrar um conjunto de geradores para [U \cap W), ou seja, todos os polinômios que estão tanto em quanto em .
Um polinômio está em se ele pode ser escrito de duas maneiras:
  1. Em :
  2. Em :
Igualando as duas expressões:
Isso nos dá o sistema:
Da segunda equação, . Mas como , então .
Portanto, os elementos em são da forma:
Podemos escrever isso como:
Então, um conjunto de geradores para é .

Passo 4

Vamos agora verificar se U + W = V . Ou seja, se toda função em P2(R) pode ser escrita como a soma de um elemento de U e um elemento de W .
Sabemos que:
dim(V) = 3
(porque P2(R) tem a base 1, t, t^2 ).
Calculando as dimensões de U e W :
  • dim(U) = 2 (já que temos duas variáveis livres: x e z )
  • dim(W) = 2 (dois geradores, que são linearmente independentes)
A fórmula da dimensão da soma é:
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W)
Como dim(U cap W) = 1 (pois U cap W é gerado por um polinômio), temos:
dim(U + W) = 2 + 2 - 1 = 3
Como dim(U + W) = dim(V) , concluímos que U + W = V .

Passo 5

Por último, vamos verificar se a soma U + W é direta. Para isso, precisamos ver se U cap W = 0 .
Já vimos que:
U cap W = span t^2 + t
Isso significa que U cap W contém mais que apenas o vetor zero (o polinômio nulo). Portanto, a soma não é direta.

Resposta

a) As equações que caracterizam [U + W) são:
b) Um conjunto de geradores de .
II.
a) Sim, .
b) Não, não é soma direta.

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