Determine uma base para os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial V=R^3 :
S=(x, y, z) in R^3: x=3 y e z=-y.

Passo 1

O enunciado pede achar uma base para o subespaço Ssubset R^3 definido por (x,y,z)mid x=3y,;z=-y.
Nesse tipo de exercício de teoria de subespaços vetoriais, usamos o método de parametrização: expressar um vetor genérico de S em função de parâmetros livres e identificar vetores geradores.

Passo 2

Aplicando as condições x=3y e z=-y, podemos tomar y como parâmetro t. Assim, um vetor genérico de S é
(x,y,z) = (3t,;t,;-t)

Passo 3

Fatorando t, obtemos
(3t,t,-t) = t,(3,1,-1)
Isso mostra que todo vetor de S é múltiplo escalar do vetor (3,1,-1) e que esse vetor gera S.

Resposta

Uma base de S é (3,1,-1).

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