Consider o espaço vetorial das matrizes
, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar
Determine uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços:
Passo 1
O enunciado fornece o espaço vetorial
e o subespaço
e o subespaço
Queremos achar uma base de
e sua dimensão. Vamos usar a restrição linear
para expressar uma coordenada em função de variáveis livres.
Passo 2
Da condição
segue
Logo, uma matriz genérica em
pode ser escrita como
onde
são parâmetros livres.
Passo 3
Reescrevendo essa matriz como combina\c{c}~ao linear dos par^ametros
, temos
Os tr^es vetores
s~ao linearmente independentes e geram
W2 , logo formam uma base de
W2 .
Passo 4
Como encontramos três vetores LI que geram
W2 , concluímos que
Resposta
Uma base de
W2 é
e
dim W2 = 3 .