Consider o espaço vetorial das matrizes 2 times 2, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar
V=M2(R)=(cc x & y z & w ): x, y, z, w in R
Determine uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços:
W2=(lla & b c & d): a-5 b+c=0

Passo 1

O enunciado fornece o espaço vetorial
V=M2(R)
e o subespaço
W2=la & b c & dinV:a-5b+c=0r
Queremos achar uma base de W2 e sua dimensão. Vamos usar a restrição linear a-5b+c=0 para expressar uma coordenada em função de variáveis livres.

Passo 2

Da condição
a-5b+c=0
segue
a=5b-c
Logo, uma matriz genérica em W2 pode ser escrita como
a & b c & d = 5b-c & b c & d,
onde b,c,dinR são parâmetros livres.

Passo 3

Reescrevendo essa matriz como combina\c{c}~ao linear dos par^ametros b,c,d, temos
5b-c & b b & d = b5 & 1 [6pt] 0 & 0 + c-1 & 0 [3pt] 1 & 0 + d0 & 0 [3pt] 0 & 1
Os tr^es vetores
E1=5 & 1 0 & 0, E2=-1 & 0 1 & 0, E3=0 & 0 0 & 1
s~ao linearmente independentes e geram W2, logo formam uma base de W2.

Passo 4

Como encontramos três vetores LI que geram W2, concluímos que
dim W2 = 3

Resposta

Uma base de W2 é
l, 5 & 1 0 & 0,; -1 & 0 1 & 0,; 0 & 0 0 & 1 r,
e dim W2 = 3.

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