Em cada item a seguir, faça o que se pede:
I . Determine: a) as equações que caracterizam
, se possível.
b) um conjunto de geradores de
.
II .Verifique se: a
b)
é soma direta.
I . Determine: a) as equações que caracterizam
b) um conjunto de geradores de
II .Verifique se: a
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
, o subespaço
e a reta
Precisamos caracterizar
por equações, achar geradores de
, e verificar se
e se a soma é direta.
Passo 2
Primeiro, parametrize
e
. Da equação
vem
, logo
Além disso
Passo 3
Para achar
, tomamos um vetor genérico de
,
, e impomos que ele esteja em
, ou seja
Logo
Passo 4
O subespaço soma é
Como esses três vetores são linearmente independentes em
, eles geram todo
.
Passo 5
Da independência acima segue que
portanto não há nenhuma equação não–trivial que caracterize
: ele é todo o espaço.
Passo 6
Vimos em
Passo 7
Resposta
I a) Como
, não existe equação linear não–trivial que o caracterize (é todo o espaço).
I b) , gerado por
.
II a) Sim, .
II b) Sim, a soma é direta.
I b)
II a) Sim,
II b) Sim, a soma é direta.