Em cada item a seguir, faça o que se pede:
I . Determine: a) as equações que caracterizam U+W, se possível.
b) um conjunto de geradores de U cap W.
II .Verifique se: a ) U+W=V b) U+W é soma direta.
V=R^3, U=(x, y, z) in R^3 ; x-y=z e W=[(1,-1,-1)]

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial R^3, o subespaço
U = (x,y,z)inR^3mid x - y = z
e a reta
W = span(1,-1,-1)
Precisamos caracterizar U+W por equações, achar geradores de Ucap W, e verificar se U+W=R^3 e se a soma é direta.

Passo 2

Primeiro, parametrize U e W. Da equação x-y=z vem x=y+z, logo
U = (y+z,y,z)mid y,zinR = span(1,1,0),(1,0,1)
Além disso
W = span(1,-1,-1)

Passo 3

Para achar Ucap W, tomamos um vetor genérico de W, (t,-t,-t), e impomos que ele esteja em U, ou seja
t - (-t) = -t Longrightarrow 2t = -t Longrightarrow 3t = 0 Longrightarrow t=0
Logo
Ucap W = (0,0,0)

Passo 4

O subespaço soma é
U+W = span(1,1,0),(1,0,1),(1,-1,-1)
Como esses três vetores são linearmente independentes em R^3, eles geram todo R^3.

Passo 5

Da independência acima segue que
U+W = R^3,
portanto não há nenhuma equação não–trivial que caracterize U+W: ele é todo o espaço.

Passo 6

Vimos em

Passo 7

Uoplus W = R^3

Resposta

I a) Como U + W = R^3, não existe equação linear não–trivial que o caracterize (é todo o espaço).
I b) U cap W = 0, gerado por (0,0,0).
II a) Sim, U + W = R^3.
II b) Sim, a soma é direta.

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