Num concurso, foram aplicadas a quatro candidatos três provas A, B e C de pesos a, bec, respectivamente. O quadro abaixo mostra as notas obtidas em cada prova e a nota final de cada um dos candidatos desse concurso.
Prova A Prova B Prova C Prova Final
Candidato 1 10 7 8 8
Candidato 2 10 10 8 9
Candidato 3 4 7 4 5
Candidato 4 8 5 8 6
Cada nota final foi obtida calculando-se a média ponderada das notas obtidas pelo candidato. Calcula-se a média ponderada somando-se os produtos das notas de cada prova pelo seu respectivo peso e dividindo-se a soma assim obtida pela soma dos pesos. O quarto candidato alegou que se as notas dos outros três candidatos estejam corretas, a sua estaria incorreta. Supondo que as notas finais dos primeiros três candidatos estejam corretas, calcule a nota final do candidato 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a nota final do candidato 4 obtida por média ponderada das provas A, B e C, cujos pesos são ,a,b,c. Sabemos que as notas finais dos candidatos 1, 2 e 3 estão corretas, o que gera um sistema de três equações lineares homogêneas em ,a,b,c. O conteúdo aqui é média ponderada e resolução de sistema para achar a razão entre os pesos.

Passo 2

Para cada um dos três primeiros candidatos escrevemos a média ponderada e igualamos à nota final:
Candidato 1:
10a + 7b + 8ca+b+c = 8
10a + 7b + 8c = 8(a+b+c)
2a - b = 0
Candidato 2:
10a + 10b + 8ca+b+c = 9
10a + 10b + 8c = 9(a+b+c)
a + b - c = 0
Candidato 3:
4a + 7b + 4ca+b+c = 5
4a + 7b + 4c = 5(a+b+c)
-,a + 2b - c = 0

Passo 3

Da equação 2a - b = 0 obtemos:
b = 2a

Passo 4

Substituindo b=2a em a + b - c = 0
a + 2a - c = 0 Longrightarrow c = 3a
A terceira equação -a + 2b - c = 0 fica -a + 4a - 3a = 0, consistente.

Passo 5

Podemos escolher a=1, b=2, c=3. Para o candidato 4, com notas 8,5,8, temos
Nota4 = 1cdot8 + 2cdot5 + 3cdot81 + 2 + 3 = 8 + 10 + 246 = 426 = 7

Resposta

A nota final do candidato 4 é 7.

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