Em cada item a seguir, faça o que se pede:
I . Determine: a) as equações que caracterizam , se possível.
b) um conjunto de geradores de .
II .Verifique se: a b) é soma direta. e W=[(ll1 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 1)].
Passo 1
O espaço V é o de todas as matrizes 2times2 reais, e
Precisamos caracterizar U+W por equações lineares, achar geradores de Ucap W, ver se U+W=V e se a soma é direta.
Passo 2
Parametrizamos
uin U: u = x1&00&0 + y0&10&0 + z0&0-1&0 = x & y -,z & 0,
win W: w = s1&10&0 + t0&01&1 = s & s t & t
Passo 3
Um genérico de é
Para qualquer basta tomar , e escolher arbitrário, definindo , . Logo todo pertence a .
Portanto
ou seja, não há equações lineares não-triviais que caracterizem .
Passo 4
Para em igualamos
.
Isto dá , e . Logo
Passo 5
De passo 3 temos U+W=V, e de passo 4 vemos que Ucap Wneq0. Portanto a soma não é direta.
Resposta
I.a) U+W = V = M2(Bbb R), logo não há equações lineares não-triviais que o caracterizem.
I.b) Ucap W = span!l1&10&0r
II.a) Sim, U+W=V.
II.b) Não, pois Ucap Wneq0, logo não é soma direta.