Em cada item a seguir, faça o que se pede:
I . Determine: a) as equações que caracterizam U+W, se possível.
b) um conjunto de geradores de U cap W.
II .Verifique se: a ) U+W=V b) U+W é soma direta.
V=M2(R), U=[(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(cc0 & 0 -1 & 0)] e W=[(ll1 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 1)].

Passo 1

O espaço V é o de todas as matrizes 2times2 reais, e
U=llang<= 1&00&0,;0&10&0,;0&0-1&0rrang<=, W=llang<= 1&10&0,;0&01&1rrang<=
Precisamos caracterizar U+W por equações lineares, achar geradores de Ucap W, ver se U+W=V e se a soma é direta.

Passo 2

Parametrizamos
uin U: u = x1&00&0 + y0&10&0 + z0&0-1&0 = x & y -,z & 0,
win W: w = s1&10&0 + t0&01&1 = s & s t & t

Passo 3

Um genérico de é
Para qualquer basta tomar , e escolher arbitrário, definindo , . Logo todo pertence a .
Portanto
ou seja, não há equações lineares não-triviais que caracterizem .

Passo 4

Para em igualamos
.
Isto dá , e . Logo

Passo 5

De passo 3 temos U+W=V, e de passo 4 vemos que Ucap Wneq0. Portanto a soma não é direta.

Resposta

I.a) U+W = V = M2(Bbb R), logo não há equações lineares não-triviais que o caracterizem.
I.b) Ucap W = span!l1&10&0r
II.a) Sim, U+W=V.
II.b) Não, pois Ucap Wneq0, logo não é soma direta.

Exercícios relacionados