Consider o espaço vetorial das matrizes 2 times 2, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar
V=M2(R)=(cc x & y z & w ): x, y, z, w in R
Determine uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços:
W3=(lla & b c & d): c=a-3 b e d=0.

Passo 1

O enunciado fala do espaço vetorial e define o subespaço
O conteúdo aqui é identificação de subespaço, parametrização por variáveis livres, e extração de base e dimensão.

Passo 2

Para ver que W3 é um subespaço e achar a base, note que em qualquer
M=a & b c & din W3
as coordenadas satisfazem c=a-3b e d=0. Logo todo Min W3 pode ser escrito como
M=a & b a-3b & 0

Passo 3

Agora parametrizamos em termos de a e b, que são livres:
a & b a-3b & 0 =a1 & 0 1 & 0 ;+;b0 & 1 -3 & 0
Dessa forma, W3=SpanlM1,M2r com
M1=1 & 0 1 & 0, M2=0 & 1 -3 & 0

Passo 4

Verificamos que M1 e M2 são linearmente independentes (pois não há escalar não-trivial que anule ambos) e geram todo W3. Logo eles formam uma base. Como temos dois vetores,
dim W3=2

Resposta

Uma base de W3 é
gl1 & 0 1 & 0,; 0 & 1 -3 & 0gr,
e dim W3=2.

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