Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo :
a) Dois vetores são L.D. se, e somente se, um deles é múltiplo do outro.
b) Um conjunto que contém um subconjunto de vetores L.D. é L.D. .
c) Um subconjunto de um conjunto L.I. pode ser L.D. .
d) Se u1, u2, u3 é L.I. então u3, u2, u1 é L.I. .
e) Se w1 in[w2, w3] então w1, w2, w3 é L.D. .
f) Se[w1, w2]=[w1, w2, w3] então w1, w2, w3 é L.D. .
g) Sew1, w2, w3 é L.I. então [w1, w2]=[w1, w2, w3].

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada afirmação sobre dependência linear e espaços gerados é verdadeira ou falsa. Vamos usar as definições e propriedades básicas:
– Um conjunto v1,dots,vk é linearmente dependente (L.D.) se existem escalares, nem todos zero, tais que
sumi=1^k alphai vi = 0
Caso contrário, é linearmente independente (L.I.).
– Propriedades que usaremos: em duas vetores L.D. um é múltiplo do outro; qualquer conjunto que contenha um subconjunto L.D. é L.D.; todo subconjunto de um conjunto L.I. é L.I.; a ordem dos vetores não altera L.I.; pertencer ao span implica dependência; e igualdade de spans significa que o novo vetor está no span original.

Passo 2

(a) Dois vetores v,w são L.D. se existe relação alpha v + beta w = 0 com (alpha,beta)neq(0,0). Isso ocorre exatamente quando um é múltiplo do outro. Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

(b) Se um conjunto S contém um subconjunto D que é L.D., em D há combinação não trivial que soma zero. Basta estender essa combinação a S atribuindo zeros aos coeficientes dos vetores de Ssetminus D. Assim S é L.D. e (b) é verdadeira.

Passo 4

(c) Se S é L.I., não existe combinação não trivial de vetores em S que dê zero. Qualquer combinação em um subconjunto Tsubset S também valeria para S, então T também é L.I. Logo, (c) é falsa.

Passo 5

(d) A definição de L.I. só depende da existência de combinação não trivial, e isso não muda se permutarmos a ordem dos vetores. Portanto, (d) é verdadeira.

Passo 6

(e) Se w1inl[w2,w3r], existe a,b tais que w1=a,w2+b,w3. Reescrevendo,
-1cdot w1 + a,w2 + b,w3 = 0
é uma relação não trivial entre w1,w2,w3. Logo o conjunto é L.D. e (e) é verdadeira.

Passo 7

(f) Se l[w1,w2r]=l[w1,w2,w3r], então w3 já está em l[w1,w2r]. Logo existe combinação não trivial que anula w1,w2,w3, mostrando que são L.D. Assim, (f) é verdadeira.

Passo 8

(g) Se w1,w2,w3 é L.I., então diml[w1,w2,w3r]=3, mas diml[w1,w2r]<=2, logo não pode haver igualdade de spans. Portanto, (g) é falsa.

Resposta

a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Verdadeira
f) Verdadeira
g) Falsa

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