Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo :
a) Dois vetores são L.D. se, e somente se, um deles é múltiplo do outro.
b) Um conjunto que contém um subconjunto de vetores L.D. é L.D. .
c) Um subconjunto de um conjunto L.I. pode ser L.D. .
d) Se
é L.I. então
é L.I. .
e) Se
então
é L.D. .
f)
então
é L.D. .
g)
é L.I. então
.
a) Dois vetores são L.D. se, e somente se, um deles é múltiplo do outro.
b) Um conjunto que contém um subconjunto de vetores L.D. é L.D. .
c) Um subconjunto de um conjunto L.I. pode ser L.D. .
d) Se
e) Se
f)
g)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se cada afirmação sobre dependência linear e espaços gerados é verdadeira ou falsa. Vamos usar as definições e propriedades básicas:
– Um conjunto é linearmente dependente (L.D.) se existem escalares, nem todos zero, tais que
– Um conjunto
Caso contrário, é linearmente independente (L.I.).
– Propriedades que usaremos: em duas vetores L.D. um é múltiplo do outro; qualquer conjunto que contenha um subconjunto L.D. é L.D.; todo subconjunto de um conjunto L.I. é L.I.; a ordem dos vetores não altera L.I.; pertencer ao span implica dependência; e igualdade de spans significa que o novo vetor está no span original.
– Propriedades que usaremos: em duas vetores L.D. um é múltiplo do outro; qualquer conjunto que contenha um subconjunto L.D. é L.D.; todo subconjunto de um conjunto L.I. é L.I.; a ordem dos vetores não altera L.I.; pertencer ao span implica dependência; e igualdade de spans significa que o novo vetor está no span original.
Passo 2
(a) Dois vetores
são L.D. se existe relação
com
. Isso ocorre exatamente quando um é múltiplo do outro. Logo, (a) é verdadeira.
Passo 3
(b) Se um conjunto
contém um subconjunto
que é L.D., em
há combinação não trivial que soma zero. Basta estender essa combinação a
atribuindo zeros aos coeficientes dos vetores de
. Assim
é L.D. e (b) é verdadeira.
Passo 4
(c) Se
é L.I., não existe combinação não trivial de vetores em
que dê zero. Qualquer combinação em um subconjunto
também valeria para
, então
também é L.I. Logo, (c) é falsa.
Passo 5
(d) A definição de L.I. só depende da existência de combinação não trivial, e isso não muda se permutarmos a ordem dos vetores. Portanto, (d) é verdadeira.
Passo 6
(e) Se
, existe
tais que
. Reescrevendo,
é uma relação não trivial entre
. Logo o conjunto é L.D. e (e) é verdadeira.
Passo 7
(f) Se
, então
já está em
. Logo existe combinação não trivial que anula
, mostrando que são L.D. Assim, (f) é verdadeira.
Passo 8
(g) Se
é L.I., então
, mas
, logo não pode haver igualdade de spans. Portanto, (g) é falsa.
Resposta
a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Verdadeira
f) Verdadeira
g) Falsa
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Verdadeira
f) Verdadeira
g) Falsa