Para cada item a seguir, faça o que se pede.
i) Determine os pontos em que f é contínua.
ii) Calcule as derivadas parciais de f.
iii) Determine os pontos em que f é diferenciável.
a) f(x, y)=\cos \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)
b) f(x, y)=\sqrt[3]{x^{5}+y^{5}}
c) f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
d) f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\left(x^{2}+y^{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right), \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
e) f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^{2} \operatorname{sen}\left(\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede, para cada função f(x,y), três coisas:
1. Pontos de continuidade de f.
2. Cálculo das derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y.
3. Pontos onde f é diferenciável.
Vamos usar: composição de contínuas é contínua; regras de derivação (cadeia, quociente); e o teste de diferenciabilidade via definição, checando se
\frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)\,h - f_y(0,0)\,k}{\sqrt{h^2+k^2}} \;\to\;0.

Passo 2

Função f(x,y)=\cos\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr).
Continuidade: \sqrt{x^2+y^2} é contínua em \mathbb{R}^2 e \cos é contínua em \mathbb{R}, logo f é contínua em todo \mathbb{R}^2.
Derivadas parciais, para (x,y)\neq(0,0):
f_x(x,y) =-\sin(r)\,\frac{x}{r}, \quad f_y(x,y) =-\sin(r)\,\frac{y}{r}, \quad r=\sqrt{x^2+y^2}.
Em (0,0), pela definição,
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{\cos(|h|)-1}{h}=0, \quad f_y(0,0)=0.
Diferenciabilidade: para (x,y)\neq(0,0), f é C^\infty. Em (0,0), perto de 0,
\cos(r)-1=-\tfrac12r^2+o(r^2), de modo que o resto é O(r^2) e vai a 0 dividido por r. Logo f é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.

Passo 3

Função f(x,y)=(x^5+y^5)^{1/3}.
Continuidade: a raiz cúbica é contínua em todo \mathbb{R}, logo f é contínua em \mathbb{R}^2.
Derivadas parciais, se x^5+y^5\neq0:
f_x =\tfrac13(x^5+y^5)^{-2/3}\cdot5x^4, \quad f_y =\tfrac13(x^5+y^5)^{-2/3}\cdot5y^4.
Essas expressões estouram quando x^5+y^5=0, i.e.\ na reta y=-x.
Em (0,0),
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{h^{5/3}}{h}=0, \quad f_y(0,0)=0.
Diferenciabilidade:
– Se x^5+y^5\neq0, f é C^\infty.
– Se (x,y)\neq(0,0) e x^5+y^5=0, as parciais explodem e f não é diferenciável.
– Em (0,0), f(h,k)=O\bigl((h^2+k^2)^{5/6}\bigr), então \tfrac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\to0, logo é diferenciável.

Passo 4

Função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}
Continuidade: para (x,y)\neq(0,0) é composição de contínuas. Em (0,0),
\bigl|xy/r\bigr|\le r/2\to0, logo contínua.
Derivadas parciais: em (x,y)\neq(0,0) aplica-se quociente; em (0,0),
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0}{h}=0, \quad f_y(0,0)=0.
Diferenciabilidade: o resto é \tfrac{xy}{r}=O(r), então \tfrac{O(r)}r\to0. Logo diferenciável em todo \mathbb R^2.

Passo 5

Função
f(x,y)= \begin{cases} (x^2+y^2)\,\sin\!\bigl(\tfrac1{\sqrt{x^2+y^2}}\bigr),&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}
Continuidade: em (0,0), (x^2+y^2)\sin(1/r)\to0.
Derivadas parciais: em (0,0) ambas iguais a zero pelo quociente; em (x,y)\neq0 existem por produto e cadeia.
Diferenciabilidade: resto =r^2\sin(1/r)=O(r^2), logo \tfrac{O(r^2)}r\to0. Diferenciável em \mathbb R^2.

Passo 6

Função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2\sin\bigl((x^2+y^2)^2\bigr)}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}
Podemos escrever f(r,\theta)=\cos^2\theta\,\sin(r^4).
Continuidade: \sin(r^4)\to0 faz f\to0.
Derivadas parciais: em (0,0) ambas zero (quociente da forma \sin(h^4)/h); em (x,y)\neq0 existe por quociente e produto de lisas.
Diferenciabilidade: f(h,k)=O(r^4)/r^2 =O(r^2) em termos de resto, e \tfrac{O(r^2)}r\to0. Logo diferenciável em todo \mathbb R^2.

Resposta

(a) contínua em \mathbb R^2; \partial f_x,\partial f_y dadas acima valem em todo \mathbb R^2; f diferenciável em \mathbb R^2.
(b) contínua em \mathbb R^2; \partial f_x,\partial f_y valem onde x^5+y^5\neq0 (explodem na reta y=-x, exceto em (0,0)); diferenciável em \mathbb R^2\setminus\{(x,y)\neq0:x^5+y^5=0\}, e também em (0,0).
(c) contínua em \mathbb R^2; \partial f_x,\partial f_y existem em todo \mathbb R^2; diferenciável em \mathbb R^2.
(d) contínua em \mathbb R^2; \partial f_x,\partial f_y existem em todo \mathbb R^2; diferenciável em \mathbb R^2.
(e) contínua em \mathbb R^2; \partial f_x,\partial f_y existem em todo \mathbb R^2; diferenciável em \mathbb R^2.

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