Sejam os vetores \vec{u}=(2,1,3), \vec{v}=(0,1,-1) e \vec{w}=(4,5,3). Mostre que \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} são coplanares.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec u=(2,1,3), \vec v=(0,1,-1) e \vec w=(4,5,3) em \mathbb R^3 e pede para mostrar que eles são coplanares. Conteúdo: vetores coplanares e produto escalar triplo (produto misto). Para mostrar coplanaridade basta verificar que o produto misto [\vec u,\vec v,\vec w] é zero.

Passo 2

O produto escalar triplo de \vec u, \vec v e \vec w é definido como o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas dos vetores:
[\vec u,\vec v,\vec w] = \det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\\\ 1 & 1 & 5 \\\\ 3 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
Se esse determinante for zero, os vetores são coplanares.

Passo 3

Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
\det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\\\ 1 & 1 & 5 \\\\ 3 & -1 & 3 \end{pmatrix} = 2\bigl(1\cdot3 - (-1)\cdot5\bigr) - 0\bigl(1\cdot3 - (-1)\cdot3\bigr) + 4\bigl(1\cdot(-1) - 1\cdot3\bigr).
Isso dá
2(3 + 5) + 4(-1 - 3) = 2\cdot8 + 4\cdot(-4) = 16 - 16 = 0.

Passo 4

Como o produto misto [\vec u,\vec v,\vec w] = 0, concluímos que \vec u, \vec v e \vec w são coplanares.

Resposta

Os vetores \vec u, \vec v e \vec w são coplanares porque o determinante do produto misto é zero.

Exercícios relacionados