Faça o que se pede:
Calcule \lim _{t \rightarrow 2} \vec{r}(t) com \vec{r}(t)=t \vec{i}+\frac{t^{2}-4}{t^{2}-2 t} \vec{j}+\frac{1}{t} \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\displaystyle \lim_{t\to2}\vec r(t)
para
\displaystyle \vec r(t)=t\,\vec i+\frac{t^{2}-4}{t^{2}-2t}\,\vec j+\frac{1}{t}\,\vec k.
O conteúdo usado é que o limite de uma função vetorial se faz componente a componente e envolve limites de funções racionais.

Passo 2

Escrevemos
\vec r(t)=\bigl(t,\;\frac{t^{2}-4}{t^{2}-2t},\;\frac{1}{t}\bigr)
e usamos
\lim_{t\to2}\vec r(t) = \Bigl(\lim_{t\to2}t,\;\lim_{t\to2}\frac{t^{2}-4}{t^{2}-2t},\;\lim_{t\to2}\frac{1}{t}\Bigr).

Passo 3

As duas componentes imediatas são
\lim_{t\to2}t=2, \qquad \lim_{t\to2}\frac{1}{t}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Para a componente em \vec j, temos uma indeterminação 0/0 em t=2. Fatoramos:
\frac{t^{2}-4}{t^{2}-2t} = \frac{(t-2)(t+2)}{t(t-2)} = \frac{t+2}{t},\quad t\neq2.
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\lim_{t\to2}\frac{t^{2}-4}{t^{2}-2t} =\lim_{t\to2}\frac{t+2}{t} =\frac{2+2}{2}=2.

Passo 5

Reunindo os resultados das três componentes, obtemos
\lim_{t\to2}\vec r(t) =2\,\vec i+2\,\vec j+\frac{1}{2}\,\vec k.

Resposta

\displaystyle 2\,\vec i+2\,\vec j+\tfrac12\,\vec k

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