Sendo \vec{u}=(1,4,1), \vec{v}=(0,1,-8), calcule:
(a) \langle\vec{u}, \overrightarrow{0}\rangle
(b) \langle\overrightarrow{0}, \vec{u}\rangle
(c) \langle\vec{v}, \vec{v}\rangle
(d) \langle\vec{u}, \vec{v}\rangle
(e) \langle\vec{v}, \vec{u}\rangle
(f) \|\vec{u}\|
(g) \|\vec{v}\|
(h) \langle 2 \vec{u}+\vec{v}, \vec{u}\rangle
(i) \langle\vec{u}-\vec{v}, \vec{u}+\vec{v}\rangle

Passo 1

Temos os vetores \vec{u}=(1,4,1), \vec{v}=(0,1,-8) e o vetor nulo \overrightarrow{0}=(0,0,0). O que vai cair aqui é produto interno (ou dot product) e norma de vetor. Vamos usar as definições:
– Produto interno de \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\langle \vec{a},\vec{b}\rangle = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
– Norma de \vec{a} é \|\vec{a}\| = \sqrt{\langle \vec{a},\vec{a}\rangle}.
Também usaremos bilinearidade e simetria \langle \vec{a},\vec{b}\rangle = \langle \vec{b},\vec{a}\rangle.

Passo 2

Como qualquer vetor escalarizado pelo vetor nulo dá zero, aplica-se diretamente:
\langle \vec{u},\overrightarrow{0}\rangle = 0, \qquad \langle \overrightarrow{0},\vec{u}\rangle = 0.

Passo 3

Calcular \langle \vec{v},\vec{v}\rangle, \langle \vec{u},\vec{v}\rangle e \langle \vec{v},\vec{u}\rangle:
\langle \vec{v},\vec{v}\rangle = 0^2 + 1^2 + (-8)^2 = 1 + 64 = 65,
\langle \vec{u},\vec{v}\rangle = 1\cdot0 + 4\cdot1 + 1\cdot(-8) = 0 + 4 - 8 = -4,
e pela simetria
\langle \vec{v},\vec{u}\rangle = \langle \vec{u},\vec{v}\rangle = -4.

Passo 4

Normas de \vec{u} e \vec{v}:
\|\vec{u}\| = \sqrt{\langle \vec{u},\vec{u}\rangle} = \sqrt{1^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2},
\|\vec{v}\| = \sqrt{\langle \vec{v},\vec{v}\rangle} = \sqrt{65}.

Passo 5

Para \langle 2\vec{u}+\vec{v},\vec{u}\rangle usamos bilinearidade:
\langle 2\vec{u}+\vec{v},\vec{u}\rangle = 2\,\langle \vec{u},\vec{u}\rangle + \langle \vec{v},\vec{u}\rangle = 2\cdot(18) + (-4) = 36 - 4 = 32.

Passo 6

Para \langle \vec{u}-\vec{v},\,\vec{u}+\vec{v}\rangle expandimos:
\langle \vec{u}-\vec{v},\,\vec{u}+\vec{v}\rangle = \langle \vec{u},\vec{u}\rangle + \langle \vec{u},\vec{v}\rangle - \langle \vec{v},\vec{u}\rangle - \langle \vec{v},\vec{v}\rangle.
Substituindo os valores:
= 18 + (-4) - (-4) - 65 = 18 - 4 + 4 - 65 = 18 - 65 = -47.

Resposta

(a) 0
(b) 0
(c) 65
(d) -4
(e) -4
(f) 3\sqrt{2}
(g) \sqrt{65}
(h) 32
(i) -47

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