Em cada item a seguir, a função f: R0 R é contínua. Determine se existe g: R R contínua tal que g(x)=f(x) forall x neq 0.
f(x)=ll2 x & se x>0, -x & se x<0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos uma função [f: \mathbb{R} \setminus {0} \rightarrow \mathbb{R}) que é contínua em todos os lugares, exceto possivelmente em . A função é definida da seguinte forma:
Queremos descobrir se existe uma função para todo . Ou seja, queremos encontrar um valor para que torne contínua em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função g é contínua em x = a se o limite da função quando x se aproxima de a é igual ao valor da função em a . Em termos matemáticos:
limx to a g(x) = g(a)
No nosso caso, queremos que g seja contínua em x = 0 . Então, precisamos que:
limx to 0 g(x) = g(0)

Passo 3

Sabemos que g(x) = f(x) para todo x neq 0 . Então, para encontrar limx to 0 g(x) , podemos usar f(x) . Vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 0 pela direita ( x to 0^+ ) e pela esquerda ( x to 0^- ).
Para x > 0 :
f(x) = 2x implies limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ 2x = 0
Para x < 0 :
f(x) = -x implies limx to 0^- f(x) = limx to 0^- -x = 0
Ambos os limites laterais são iguais a 0.

Passo 4

Como os limites laterais de f(x) em x = 0 são iguais e valem 0, para que g seja contínua em x = 0 , basta que definamos:
g(0) = 0
Dessa forma, a função g ficará definida por:
g(x) = 2x & se x > 0, 0 & se x = 0, -x & se x < 0

Resposta

Sim, existe uma função contínua [g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) que satisfaz para todo . A função é definida da seguinte maneira:
Essa definição garante que .

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