Em cada item a seguir, a função f:
é contínua. Determine se existe
contínua tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma função [f: \mathbb{R} \setminus {0} \rightarrow \mathbb{R}) que é contínua. Precisamos descobrir se existe uma função
também contínua, que coincida com
para todo
diferente de zero. A função
está definida da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e como estender uma função contínua em todo o domínio real, incluindo o ponto onde ela inicialmente não estava definida, que neste caso é (x = 0].
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar a continuidade de
em
. Para que
seja contínua em todo o domínio, especialmente em
, os limites laterais de
quando
se aproxima de 0 devem ser iguais. Vamos calcular esses limites.
Passo 3
Calculando o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita (
):
Agora, calculando o limite de
quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
Passo 4
Agora, com os limites calculados:
Para que
seja contínua em
, esses dois limites precisam ser iguais. Porém, aqui vemos que eles são diferentes: 0 ≠ 1.
Passo 5
Como os limites laterais de
em
não são iguais, não é possível definir um valor para
que torne
contínua em todo o domínio. Portanto, não existe uma função
contínua que coincida com
para todo
.
Resposta
Não, não existe uma função
contínua que satisfaça
para todo
.