Em cada item a seguir, a função f: R0 R é contínua. Determine se existe g: R R contínua tal que g(x)=f(x) forall x neq 0.
f(x)=ll2 x & se x>0, x+1 & se x<0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma função [f: \mathbb{R} \setminus {0} \rightarrow \mathbb{R}) que é contínua. Precisamos descobrir se existe uma função também contínua, que coincida com para todo diferente de zero. A função está definida da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e como estender uma função contínua em todo o domínio real, incluindo o ponto onde ela inicialmente não estava definida, que neste caso é (x = 0].

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar a continuidade de g em x = 0 . Para que g seja contínua em todo o domínio, especialmente em x = 0 , os limites laterais de f(x) quando x se aproxima de 0 devem ser iguais. Vamos calcular esses limites.

Passo 3

Calculando o limite de f(x) quando x se aproxima de 0 pela direita ( x 0^+ ):
limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ 2x = 2 times 0 = 0
Agora, calculando o limite de f(x) quando x se aproxima de 0 pela esquerda ( x 0^- ):
limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (x + 1) = 0 + 1 = 1

Passo 4

Agora, com os limites calculados:
limx to 0^+ f(x) = 0 e limx to 0^- f(x) = 1
Para que g seja contínua em x = 0 , esses dois limites precisam ser iguais. Porém, aqui vemos que eles são diferentes: 0 ≠ 1.

Passo 5

Como os limites laterais de f(x) em x = 0 não são iguais, não é possível definir um valor para g(0) que torne g contínua em todo o domínio. Portanto, não existe uma função g: R R contínua que coincida com f(x) para todo x neq 0 .

Resposta

Não, não existe uma função g contínua que satisfaça g(x) = f(x) para todo x neq 0 .

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