Considere a equação
. Pede-se:
(a) Mostre que é uma equação de Bernoulli.
(b) Resolva a equação.
(a) Mostre que é uma equação de Bernoulli.
(b) Resolva a equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede: (a) mostrar que é uma equação de Bernoulli; (b) resolvê-la.
Para isso vamos reescrever no formato de Bernoulli, usar a substituição com
, obter uma equação linear em
, resolvê-la por fator integrante e, por fim, voltar a
.
Para isso vamos reescrever no formato de Bernoulli, usar a substituição
Passo 2
Reescrevendo a ODE em forma padrão de Bernoulli, isolamos o termo linear em
:
Isto é
com
Logo, é exatamente uma equação de Bernoulli de expoente
.
Passo 3
Fazemos a substituição padrão
Calculamos
Como
, substituímos:
Passo 4
Reescrevendo, obtemos a equação linear em
:
O fator integrante é
Passo 5
Multiplicando por
teremos
Integrando,
Passo 6
Voltando a
, como
, ficamos com
Resposta
A solução geral é
onde
é a constante de integração.