Considere a equação y^prime=(cos t+2) y-y^3. Pede-se:
(a) Mostre que é uma equação de Bernoulli.
(b) Resolva a equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação
y' = (cos t + 2),y - y^3
e pede: (a) mostrar que é uma equação de Bernoulli; (b) resolvê-la.
Para isso vamos reescrever no formato de Bernoulli, usar a substituição z=y^1-n com n=3, obter uma equação linear em z, resolvê-la por fator integrante e, por fim, voltar a y.

Passo 2

Reescrevendo a ODE em forma padrão de Bernoulli, isolamos o termo linear em y:
y'-(cos t+2),y = -,y^3
Isto é
y' + p(t),y = q(t),y^n
com
p(t) = -l(cos t+2r), q(t) = -1, n=3
Logo, é exatamente uma equação de Bernoulli de expoente n=3.

Passo 3

Fazemos a substituição padrão
z = y^1-n = y^-2
Calculamos
z' = ddt(y^-2) = -2,y^-3,y'
Como y' = (cos t+2),y - y^3, substituímos:
z' = -2,y^-3l[(cos t+2),y - y^3r] = -2l((cos t+2),y^-2 -1r) = -2(cos t+2),z + 2

Passo 4

Reescrevendo, obtemos a equação linear em z:
z' + 2l(cos t+2r),z = 2
O fator integrante é
mu(t) = exp!l(integral 2(cos t+2),dtr) = expl(2sin t +4tr)

Passo 5

Multiplicando por mu teremos
ddtl(z,mur) = 2,mu
Integrando,
z,mu = integral 2,mu,dt + C Longrightarrow z(t) = e^-2sin t -4tl(!integral 2,e^2sin t +4t,dt + Cr)

Passo 6

Voltando a y, como z=y^-2, ficamos com
y(t) = pm l[z(t)r]^-1/2 = pm e^sin t +2traizintegral 2,e^2sin t +4t,dt + C

Resposta

A solução geral é
y(t) = pm e^sin t +2traizintegral 2,e^2sin t +4t,dt + C,
onde C é a constante de integração.

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