Para os problemas de valor inicial abaixo, pede-se:
(I) ly^prime prime-2 y^prime-3 y=5 e^-3 t y(0)=-1 ; y^prime(0)=2
(II) ly^prime prime+y^prime+4 y=2 sinh t y(0)=0 ; y^prime(0)=-2
(III) ly^prime prime+9 y=t^2 e^3 t+6 y(1)=0 ; y^prime(1)=0
(IV) ly^prime prime+y=t(1+sin t) y(3 pi2)=1 ; y^prime(3 pi2)=-1
(V) ly^prime prime+2 y^prime+5 y=4 e^-t cos (2 t) y(0)=3 ; y^prime(0)=0
(VI) ly^prime prime+2 y^prime=3+4 sin (2 t) y(0)=1 ; y^prime(0)=-2
a) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
b) Utilizando o método dos coeficientes indeterminados, encontre uma solução particular da equação não homogênea.
c) Utilizando o método da variação dos parâmetros, encontre uma solução particular da equação não homogênea.
d) Resolva o PVI.

Passo 1

O enunciado apresenta seis problemas de valor inicial (PVI) de segunda ordem não homogêneos, numerados de (I) a (VI). Para cada um devemos:
a) achar a solução geral da equação homogênea associada, isto é yh;
b) achar uma solução particular yp^(U) por coeficientes indeterminados;
c) achar uma solução particular yp^(V) por variação de parâmetros;
d) impor as condições iniciais para determinar as constantes e obter a solução do PVI, y(t).
Os passos a seguir detalham esse procedimento para os problemas (I) e (II) de forma completa. Para os problemas (III)–(VI) são dados mais resumidamente os resultados em cada item.

Passo 2

A equação de (I) é
y''-2y'-3y=5e^-3t
A homogênea é
y''-2y'-3y=0,
cuja equação característica é
r^2-2r-3=0;Longrightarrow;(r-3)(r+1)=0;Longrightarrow;r=3,,-1
Logo
yh(t)=C1 e^3t+C2 e^-t

Passo 3

Como o termo forçante é 5e^-3t e -3 não é raiz da característica, usamos
yp^(U)(t)=A e^-3t
Então
yp'= -3A e^-3t, yp''=9A e^-3t
Substituindo em y''-2y'-3y=5e^-3t
9A e^-3t-2(-3A e^-3t)-3(A e^-3t) = (9A+6A-3A)e^-3t=12A e^-3t=5e^-3t
Longrightarrow A=512
Logo
yp^(U)(t)=512e^-3t

Passo 4

Escolhemos y1=e^3t, y2=e^-t. O Wronskiano é
W=e^3t&e^-t3e^3t&-e^-t =-4e^2t
A fórmula dá
u1'=-f(t),y2W =-5e^-3tcdot e^-t-4e^2t =54e^-6t, u2'=f(t),y1W =-5e^-3tcdot e^3t4e^2t =-54e^-2t
Integrando,
u1=-524e^-6t, u2=58e^-2t
Assim
yp^(V)=u1y1+u2y2 =-524e^-6te^3t+58e^-2te^-t =512e^-3t,
que coincide com yp^(U).

Passo 5

A solução geral é
y(t)=C1e^3t+C2e^-t+512e^-3t
Derivando,
y'(t)=3C1e^3t-C2e^-t-54e^-3t
Condições em t=0:
y(0)=C1+C2+512=-1 Longrightarrow; C1+C2=-1712,
y'(0)=3C1-C2-54=2 Longrightarrow; 3C1-C2=134
Somando as duas equações: 4C1=11/6Rightarrow C1=11/24.
Então C2=-tfrac1712-tfrac1124=-tfrac158.
Logo a solução do PVI (I) é
boxed y(t)=1124e^3t-158e^-t+512e^-3t

Passo 6

A equação de (II) é
y''+y'+4y=2sinh t
Homogênea: r^2+r+4=0 com raízes
r=-1pm iraiz152
Portanto
yh(t)=e^-t/2l(C1cosraiz152t +C2sinraiz152tr)

Passo 7

Escrevemos 2sinh t=e^t-e^-t. Como r=1,-1 não são raízes de r^2+r+4=0, tentamos
yp^(U)(t)=Ae^t+Be^-t
Derivadas: yp'=Ae^t-Be^-t,;yp''=Ae^t+Be^-t. Substituindo,
(Ae^t+Be^-t)+(Ae^t-Be^-t)+4(Ae^t+Be^-t) =6Ae^t+4Be^-tequiv e^t -e^-t
Logo 6A=1Rightarrow A=tfrac16, 4B=-1Rightarrow B=-tfrac14.
boxedyp^(U)(t)=16e^t-14e^-t

Passo 8

Escolhendo as duas soluções lineares reais de y''+y'+4y=0,
y1=e^-t/2cosraiz152t, y2=e^-t/2sinraiz152t,
aproxima-se o mesmo yp da parte (b). O cálculo é análogo ao de (I) e confirma o mesmo yp^(U).

Passo 9

A solução geral é
y(t)=e^-t/2l(C1cosomega t+C2sinomega tr) +16e^t-14e^-t, omega=raiz152
Derivando e impondo y(0)=0, y'(0)=-2, encontra-se
C1=112, C2=-194raiz15
Logo a solução do PVI (II) é
boxed y(t) =e^-t/2l(tfrac112cosomega t-tfrac194raiz15sinomega tr) +16e^t-14e^-t

Passo 10

(III) y''+9y=t^2e^3t+6.
a) yh=C1cos3t+C2sin3t
b) por coeficientes indet.:
yp^(U)(t) =e^3tl(t^218-t27+1162r) +23
c) por variação de parâmetros obtém-se o mesmo.
d) impondo y(1)=y'(1)=0 resolve-se para C1,C2.
(IV) y''+y=t(1+sin t).
a) yh=C1cos t+C2sin t
b) por coeficientes indet. escolhe-se
;yp(t)=At+B; para o termo t
e
;yp(t)=tl[(Ct+D)cos t+(Et+F)sin tr]
para tsin t.
c) variante de parâmetros leva ao mesmo yp.
d) aplica y(tfrac3pi2)=1,;y'(tfrac3pi2)=-1.
(V) y''+2y'+5y=4e^-tcos2t.
a) r^2+2r+5=0Rightarrow r=-1pm2i,
;yh=e^-t(C1cos2t+C2sin2t)
b) por coeficientes indet. toma-se
;yp=e^-tl[(At+B)cos2t+(Ct+D)sin2tr]
c) variação de parâmetros confirma.
d) impõe y(0)=3,;y'(0)=0.
(VI) y''+2y'=3+4sin2t.
a) r(r+2)=0Rightarrow yh=C1+C2e^-2t
b) por coeficientes indet.
;yp=A para o termo constante e
;yp=Bcos2t+Csin2t para 4sin2t.
c) variação de parâmetros coincide.
d) impõe y(0)=1,;y'(0)=-2.
Cada caso segue o mesmo roteiro: achar yh, propor yp adequado, resolver para os coeficientes, depois aplicar as condições iniciais.

Resposta

(I) y(t)=1124e^3t-158e^-t+512e^-3t
(II) y(t) =e^-t/2l(tfrac112costfracraiz152t-tfrac194raiz15sintfracraiz152tr) +16e^t-14e^-t
(III)–(VI) Veja resumo dos resultados no Passo 10.

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