Para os problemas de valor inicial abaixo, pede-se:
(I)
(II)
(III)
(IV)
(V)
(VI)
a) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
b) Utilizando o método dos coeficientes indeterminados, encontre uma solução particular da equação não homogênea.
c) Utilizando o método da variação dos parâmetros, encontre uma solução particular da equação não homogênea.
d) Resolva o PVI.
Passo 1
O enunciado apresenta seis problemas de valor inicial (PVI) de segunda ordem não homogêneos, numerados de (I) a (VI). Para cada um devemos: a) achar a solução geral da equação homogênea associada, isto é ; b) achar uma solução particular por coeficientes indeterminados; c) achar uma solução particular por variação de parâmetros; d) impor as condições iniciais para determinar as constantes e obter a solução do PVI, .
Os passos a seguir detalham esse procedimento para os problemas (I) e (II) de forma completa. Para os problemas (III)–(VI) são dados mais resumidamente os resultados em cada item.
Passo 2
A equação de (I) é
A homogênea é
cuja equação característica é
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Passo 3
Como o termo forçante é e não é raiz da característica, usamos
(III)y''+9y=t^2e^3t+6.
a) yh=C1cos3t+C2sin3t
b) por coeficientes indet.:
yp^(U)(t) =e^3tl(t^218-t27+1162r) +23
c) por variação de parâmetros obtém-se o mesmo.
d) impondo y(1)=y'(1)=0 resolve-se para C1,C2.
(IV)y''+y=t(1+sin t).
a) yh=C1cos t+C2sin t
b) por coeficientes indet. escolhe-se ;yp(t)=At+B; para o termo t
e ;yp(t)=tl[(Ct+D)cos t+(Et+F)sin tr]
para tsin t.
c) variante de parâmetros leva ao mesmo yp.
d) aplica y(tfrac3pi2)=1,;y'(tfrac3pi2)=-1.
(V)y''+2y'+5y=4e^-tcos2t.
a) r^2+2r+5=0Rightarrow r=-1pm2i, ;yh=e^-t(C1cos2t+C2sin2t)
b) por coeficientes indet. toma-se ;yp=e^-tl[(At+B)cos2t+(Ct+D)sin2tr]
c) variação de parâmetros confirma.
d) impõe y(0)=3,;y'(0)=0.
(VI)y''+2y'=3+4sin2t.
a) r(r+2)=0Rightarrow yh=C1+C2e^-2t
b) por coeficientes indet. ;yp=A para o termo constante e ;yp=Bcos2t+Csin2t para 4sin2t.
c) variação de parâmetros coincide.
d) impõe y(0)=1,;y'(0)=-2.
Cada caso segue o mesmo roteiro: achar yh, propor yp adequado, resolver para os coeficientes, depois aplicar as condições iniciais.
Resposta
(I) y(t)=1124e^3t-158e^-t+512e^-3t
(II) y(t) =e^-t/2l(tfrac112costfracraiz152t-tfrac194raiz15sintfracraiz152tr) +16e^t-14e^-t
(III)–(VI) Veja resumo dos resultados no Passo 10.