Use o Lema Fundamental e mostre que a função z=f(x, y) é diferenciável no domínio indicado.
Estude a diferenciabilidade da função z=f(x, y), no ponto P0 indicado:
z=raiz|x y| ; P0=(0,0)

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=raizlvert x,yrvert, P0=(0,0),
e pede para estudar a diferenciabilidade em P0.
O conteúdo envolve a definição (Lema Fundamental) de diferenciabilidade para funções de duas variáveis: f é diferenciável em P0 se existem um mapa linear L:R^2toR e uma função resto r(h,k) tais que, para (h,k)to(0,0),
f(P0+(h,k))-f(P0)-L(h,k)=r(h,k),
onde
lim(h,k)to(0,0)r(h,k)raizh^2+k^2=0
A tarefa é verificar se isso ocorre em P0.

Passo 2

Antes de examinar
é composição de funções diferenciáveis (produto, valor absoluto fora de zero e raiz em é diferenciável sempre que .

Passo 3

Em P0=(0,0) temos f(0,0)=0. Calculamos as derivadas parciais candidatas:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00h=0,
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00k=0
Assim o único mapa linear possível é L(h,k)=0.

Passo 4

Para testar o resto definimos
r(h,k)=f(h,k)-L(h,k)=raizlvert h,krvert
Devemos ver se
r(h,k)raizh^2+k^2 =raizlvert h,krvertraizh^2+k^2 ;xrightarrow[(h,k)to(0,0)];0
Mas ao tomar h=k=t vem
raizlvert t^2rvertraizt^2+t^2 =lvert trvertlvert trvertraiz2 =1raiz2neq0
Logo o quociente não tende a zero, o que contradiz a condição de diferenciabilidade.

Resposta

A função f(x,y)=raizlvert x,yrvert é diferenciável apenas quando x,yneq0 e não é diferenciável em P0=(0,0).

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