Encontre o maior intervalo no qual o PVI l(x-2) y^prime prime+y^prime+tan (x) y=x-2x+2 y(3)=2, y^prime(3)=0 tem uma única solução.

Passo 1

O enunciado traz o PVI
(x-2),y'' + y' + tan(x),y = x-2x+2, y(3)=2,;y'(3)=0
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Para garantir existência e unicidade em torno de x0=3, usaremos o teorema que exige que, na forma padrão
y'' + P(x),y' + Q(x),y = R(x),
as funções P, Q e R sejam contínuas num intervalo aberto contendo x0.

Passo 2

Dividindo a equação original por (x-2), obtemos a forma padrão:
y'' + 1x-2,y' + tan(x)x-2,y = 1x+2
Logo
P(x)=1x-2, Q(x)=tan(x)x-2, R(x)=1x+2

Passo 3

Para P, Q e R serem contínuas, devemos evitar pontos onde algum denominador zere ou onde tan(x) seja singular. Assim os pontos proibidos são
x=2, x=-2, cos(x)=0implies x=pi2+kpi,;kinZ

Passo 4

Procuramos o maior intervalo aberto contendo x=3 que não contenha nenhuma dessas singularidades. Os pontos singulares mais próximos de 3 são
à esquerda: x=2, à direita: x=pi2+pi=3pi2 àà
Portanto o maior intervalo de unicidade é
(2,;3pi/2)

Resposta

(2,;3pi/2)

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