Use o Lema Fundamental e mostre que a função z=f(x, y) é diferenciável no domínio indicado.
Estude a diferenciabilidade da função z=f(x, y), no ponto P0 indicado:
z=raizx^2+y^2 ; P0=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a diferenciabilidade de
f(x,y)=raizx^2+y^2
no ponto P0=(0,0).
Lembrando que f é diferenciável em P0 se existe um mapa linear
L(x,y)=A,x+B,y
tal que, chamando r=raizx^2+y^2, valha
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)r=0

Passo 2

Como f(0,0)=0, a condição vira
lim(x,y)to(0,0)raizx^2+y^2-A,x - B,yraizx^2+y^2=0
Seus coeficientes A e B teriam de ser justamente as derivadas parciais em (0,0), caso existissem.

Passo 3

Restrinjamos a aproximação ao eixo y=0. Então r=|x| e a expressão acima fica
|x|-A,x|x| =1 - A,x|x| =1 - A,sign(x)
Para que isso tenda a zero quando xto0^+ precisamos de
1 - A = 0 Longrightarrow A=1,
enquanto que para xto0^- precisamos de
1 + A = 0 Longrightarrow A=-1
Não há A único que satisfaça ambas as exigências, logo a fração não tende a zero.

Resposta

A função f(x,y)=raizx^2+y^2 não é diferenciável em P0=(0,0).

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