Em cada item a seguir: (i) verifique que a função dada é uma transformação linear; (ii) determine base e dimensão do núcleo e da imagem; (iii) decida se é um isomorfismo.
dada por
.
Passo 1
O enunciado define a transformação
O conteúdo envolve transformação linear, cálculo de núcleo e imagem (subespaços, bases e dimensões) e critério de isomorfismo.
Passo 2
Para verificar que
é linear basta mostrar que para quaisquer
,
e escalar
:
Logo,
é transformação linear.
Passo 3
Cálculo do núcleo
. Resolver
Dessas igualdades segue
. Portanto
Passo 4
Cálculo da imagem
. Tomamos a base canônica e calculamos
Observa-se que
logo uma base de
é
e
.
Passo 5
Critério de isomorfismo:
é isomorfismo se e somente se
(injetiva) e
(sobrejetiva). Aqui
e
, logo
não é isomorfismo.
Resposta
(i)
é linear.
(ii) ,
;
,
.
(iii) não é isomorfismo.
(ii)
(iii)