Em cada item a seguir: (i) verifique que a função dada é uma transformação linear; (ii) determine base e dimensão do núcleo e da imagem; (iii) decida se é um isomorfismo.
T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(y-z, x-z, x-y).

Passo 1

O enunciado define a transformação
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (y - z,;x - z,;x - y)
O conteúdo envolve transformação linear, cálculo de núcleo e imagem (subespaços, bases e dimensões) e critério de isomorfismo.

Passo 2

Para verificar que T é linear basta mostrar que para quaisquer u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2) e escalar alpha:
T(u+v) = l((y1+y2)-(z1+z2),,(x1+x2)-(z1+z2),,(x1+x2)-(y1+y2)r)
=l(y1-z1,;x1-z1,;x1-y1r) +l(y2-z2,;x2-z2,;x2-y2r) = T(u)+T(v),
T(alpha u) =l(alpha y1-alpha z1,;alpha x1-alpha z1,;alpha x1-alpha y1r) =alpha,T(u)
Logo, T é transformação linear.

Passo 3

Cálculo do núcleo ker(T). Resolver
T(x,y,z)=(0,0,0)iff y-z=0,;x-z=0,;x-y=0
Dessas igualdades segue x=y=z. Portanto
ker(T)=(t,t,t)mid tinR =span(1,1,1),
dimker(T)=1.

Passo 4

Cálculo da imagem Im(T). Tomamos a base canônica e calculamos
T(e1)=T(1,0,0)=(0,1,1), T(e2)=(1,0,-1), T(e3)=(-1,-1,0)
Observa-se que
(-1,-1,0) = -,(0,1,1);-;(1,0,-1),
logo uma base de Im(T) é
(0,1,1),,(1,0,-1),
e dimIm(T)=2.

Passo 5

Critério de isomorfismo: T é isomorfismo se e somente se ker(T)=0 (injetiva) e dimIm(T)=3 (sobrejetiva). Aqui dimker(T)=1neq0 e dimIm(T)=2<3, logo T não é isomorfismo.

Resposta

(i) T é linear.
(ii) ker(T)=span(1,1,1), dimker(T)=1;
Im(T)=span(0,1,1),(1,0,-1), dimIm(T)=2.
(iii) T não é isomorfismo.

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