Em cada item a seguir: (i) verifique que a função dada é uma transformação linear; (ii) determine base e dimensão do núcleo e da imagem; (iii) decida se é um isomorfismo.
D: P3(R) P2(R) a função dada por D(p(t))=p^prime(t)+p^prime prime(t).

Passo 1

O enunciado define
Dcolon P3(R)to P2(R), Dl(p(t)r)=p'(t)+p''(t)
Precisamos: (i) verificar que D é linear; (ii) achar base e dimensão de ker(D) e Im(D); (iii) decidir se D é isomorfismo.

Passo 2

Para ver que D é linear, note que a derivada é um operador linear e que soma de operadores lineares é linear. Ou seja, para quaisquer p,qin P3(R) e lambdainR,
D(p+q)=(p+q)'+(p+q)''=p'+q'+p''+q''=D(p)+D(q),
D(lambda p)=(lambda p)'+(lambda p)''=lambda p'+lambda p''=lambda D(p)

Passo 3

Para ker(D) resolvemos D(p)=0. Escreva
p(t)=a t^3+b t^2+c t+d
Então
p'(t)=3a t^2+2b t+c, p''(t)=6a t+2b,
D(p)=p'+p''=3a t^2+(2b+6a)t+(c+2b)equiv0
Igualando coeficientes a zero:
3a=0implies a=0, 2b+6a=0implies b=0, c+2b=0implies c=0
Não há restrição sobre d. Logo
ker(D)=dcolon p(t)=d,
base 1, dimensão dimker(D)=1.

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão (ou posto-nulidade),
dimIm(D)=dim P3-dimker(D)=4-1=3
Como dim P2=3, segue que Im(D)=P2(R). Uma base conveniente é
t^2,,t,,1,
ou, vindo direto de imagens de monômios,
D(t^3),,D(t^2),,D(t)=3t^2+6t,;2t+2,;1

Passo 5

Para ser isomorfismo, D deveria ser bijetora. Como ker(D)neq0, D não é injetora. Logo não é isomorfismo.

Resposta

(i) D é linear.
(ii) ker(D) tem base 1 e dimker(D)=1.
Im(D)=P2(R) tem base t^2,t,1 e dimIm(D)=3.
(iii) D não é isomorfismo.

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