Em cada item a seguir: (i) verifique que a função dada é uma transformação linear; (ii) determine base e dimensão do núcleo e da imagem; (iii) decida se é um isomorfismo.
a função dada por
.
Passo 1
O enunciado define
Precisamos: (i) verificar que
é linear; (ii) achar base e dimensão de
e
; (iii) decidir se
é isomorfismo.
Passo 2
Para ver que
é linear, note que a derivada é um operador linear e que soma de operadores lineares é linear. Ou seja, para quaisquer
e
,
Passo 3
Para
resolvemos
. Escreva
Então
Igualando coeficientes a zero:
Não há restrição sobre
. Logo
base
, dimensão
.
Passo 4
Pelo Teorema da Dimensão (ou posto-nulidade),
Como
, segue que
. Uma base conveniente é
ou, vindo direto de imagens de monômios,
Passo 5
Para ser isomorfismo,
deveria ser bijetora. Como
,
não é injetora. Logo não é isomorfismo.
Resposta
(i)
é linear.
(ii) tem base
e
.
tem base
e
.
(iii) não é isomorfismo.
(ii)
(iii)