Sabe-se que T: R^3 R^2 é uma tranformação linear tal que
T(1,1,1)=(2,0), T(0,1,1)=(1,1) e T(0,0,1)=(0,-1)
Determine T(x, y, z)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T: R^3 to R^2
e informa
T(1,1,1) = (2,0), T(0,1,1) = (1,1), T(0,0,1) = (0,-1)
Como toda transformação linear é determinada pelas imagens dos vetores da base canônica
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1),
vamos usar essas igualdades para achar T(e1), T(e2) e T(e3).

Passo 2

Do dado T(0,0,1)=(0,-1) vemos imediatamente que
T(e3) = (0,-1)

Passo 3

Pela linearidade,
T(0,1,1) = T(e2) + T(e3)
Como T(0,1,1)=(1,1) e T(e3)=(0,-1), segue
T(e2) = (1,1) - (0,-1) = (1,2)

Passo 4

Ainda pela linearidade,
T(1,1,1) = T(e1) + T(e2) + T(e3)
Como T(1,1,1)=(2,0), T(e2)=(1,2) e T(e3)=(0,-1), temos
T(e1) = (2,0) - (1,2) - (0,-1) = (1,-1)

Passo 5

Agora que achamos
T(e1) = (1,-1), T(e2) = (1,2), T(e3) = (0,-1),
podemos escrever a ação de T em qualquer vetor (x,y,z) pela combinação linear
T(x,y,z) = x,T(e1) + y,T(e2) + z,T(e3)
Isso dá
T(x,y,z) = x,(1,-1) + y,(1,2) + z,(0,-1) = (,x + y,;-x + 2y - z,)

Resposta

T(x,y,z) = l(x + y,,-x + 2y - zr)

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