Encontre uma transf. linear T: R^3 R^3 com ker(T)=[(2,1,0),(1,0,1)] e im(T)=[(1,2,3)].

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
Tcolon R^3toR^3
tal que
ker(T)=span(2,1,0),(1,0,1)
e
im(T)=span(1,2,3).
Para construir T, usamos que toda transformação de posto 1 pode ser escrita como
T(v)=varphi(v),u,
onde varphicolonR^3toR é funcional linear com ker(varphi)=ker(T) e u gera im(T).

Passo 2

Encontrar varphi exigindo varphi(2,1,0)=0 e varphi(1,0,1)=0.
Procuramos um vetor
w=(w1,w2,w3) ortogonal aos geradores do núcleo, isto é,
wcdot(2,1,0)=2w1+w2+0cdot w3=0,
wcdot(1,0,1)=w1+0cdot w2+w3=0
Calculando o produto vetorial
(2,1,0)times(1,0,1)=(1,-2,-1),
vemos que w=(1,-2,-1) satisfaz as duas condições.

Passo 3

Definimos então o funcional
varphi(x,y,z)=wcdot(x,y,z)=x-2y-z
Por construção,
ker(varphi)=span(2,1,0),(1,0,1).

Passo 4

Escolhemos u=(1,2,3) para gerar a imagem desejada.
Logo, a transformação
T(x,y,z)=varphi(x,y,z),u=(x-2y-z),(1,2,3)
tem exatamente ker(T)=ker(varphi) e im(T)=spanu=span(1,2,3).

Resposta

T(x,y,z)=(x-2y-z),(1,2,3)

Exercícios relacionados