Em cada item a seguir, resolva a EDO.
y^{\prime}=\frac{x^{2}}{y\left(1+x^{3}\right)}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
y' = \frac{x^{2}}{y\,\bigl(1+x^{3}\bigr)}
e pede a solução geral. Como a variável y e sua derivada aparecem separadas em fatores distintos de x, vamos usar o método de separação de variáveis: isolar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por y e por \,dx:
y\,dy = \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int y\,dy \;=\;\int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx.

Passo 4

Calculemos cada integral:
A do lado esquerdo é imediata:
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
Para a do lado direito, note que \frac{d}{dx}(1+x^{3})=3x^{2}, então
\int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx = \frac{1}{3}\int \frac{3x^{2}}{1+x^{3}}\,dx = \frac{1}{3}\ln\bigl(1+x^{3}\bigr).
Não esqueça de adicionar a constante de integração C.

Passo 5

Igualando as primitivas e escrevendo a constante de modo geral, temos
\frac{y^{2}}{2} = \frac{1}{3}\ln\bigl(1+x^{3}\bigr) + C.
Multiplicando por 2 e renomeando a constante C_1=2C, chega-se a
y^{2} = \frac{2}{3}\ln\bigl(1+x^{3}\bigr) + C_{1}.
Por fim, isolamos y:

Resposta

y(x) = \pm\sqrt{\frac{2}{3}\,\ln\bigl(1+x^{3}\bigr) + C_{1}},
onde C_{1} é a constante arbitrária de integração.

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