O preço \mathrm{P}(\mathrm{t}) ajusta-se de acordo com:
\frac{d P}{d t}+0,3 P=60
a) Resolva a equação diferencial. b) Determine o preço em equilíbrio.
c) Interprete economicamente o resultado.

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo de ajuste de preço
\frac{dP}{dt} + 0,3\,P = 60
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral P(t) e depois determinar o preço de equilíbrio e interpretar o resultado economicamente.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t). Como o coeficiente de P é 0,3, temos
\mu(t) = e^{\int 0,3\,dt} = e^{0,3t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos
e^{0,3t}\,\frac{dP}{dt} + 0,3\,e^{0,3t}P = 60\,e^{0,3t},
cujo lado esquerdo é o derivado de \bigl(e^{0,3t}P\bigr).

Passo 3

Integrando ambos os lados em relação a t:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{0,3t}P\bigr) = 60\,e^{0,3t} \quad\Longrightarrow\quad e^{0,3t}P = \int 60\,e^{0,3t}\,dt = \frac{60}{0,3}\,e^{0,3t} + C,
onde C é constante de integração. Logo,
P(t) = \frac{60}{0,3} + C\,e^{-0,3t} = 200 + C\,e^{-0,3t}.

Passo 4

O preço de equilíbrio P^* é obtido impondo \tfrac{dP}{dt}=0. Da equação diferencial,
0 + 0,3\,P^* = 60 \quad\Longrightarrow\quad P^* = \frac{60}{0,3} = 200.

Passo 5

Interpretando economicamente, a solução
P(t) = 200 + C\,e^{-0,3t}
mostra que o preço se ajusta exponencialmente em direção a 200. Qualquer desvio inicial C decai à taxa 0,3 por unidade de tempo, o que indica um ajuste estável: se P estiver abaixo de 200 cresce, e se estiver acima decresce, sempre convergindo para o equilíbrio.

Resposta

a) \displaystyle P(t)=200 + C\,e^{-0,3t}.
b) P^*=200.
c) O modelo indica que o preço converge de forma exponencial ao valor de equilíbrio 200; desvios iniciais são corrigidos à taxa de ajuste 0,3, garantindo estabilidade.

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