Considere a equação em diferenças:
x t+1=0,7 x t+20
a) Encontre a solução geral;
b) Determine o ponto de equilíbrio e discuta a estabilidade.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação em diferenças
x_{t+1} = 0.7\,x_t + 20
Esse é um problema de equação linear de primeira ordem com coeficiente constante. Para resolver, vamos decompor em solução homogênea e particular.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
x_{t+1}^{(h)} = 0.7\,x_t^{(h)},
que é uma progressão geométrica de razão 0.7. Logo
x_t^{(h)} = C\,(0.7)^t,
onde C é constante determinada pela condição inicial.
Para a solução particular, procuramos uma constante A tal que
A = 0.7\,A + 20.
Isolando A vem
A(1 - 0.7) = 20 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{20}{0.3} = \frac{200}{3}.

Passo 3

Somando as duas partes, a solução geral fica
x_t = x_t^{(h)} + x_t^{(p)} = C\,(0.7)^t + \frac{200}{3}.

Passo 4

O ponto de equilíbrio x^* é o valor constante que satisfaz
x^* = 0.7\,x^* + 20,
logo
x^* = \frac{200}{3}.
Como o fator da parte homogênea é \lvert 0.7\rvert<1, temos (0.7)^t\to0 quando t\to\infty. Isso significa que qualquer solução converge para x^*, ou seja, o ponto de equilíbrio é globalmente assintoticamente estável.

Resposta

a) \displaystyle x_t = C\,(0.7)^t + \frac{200}{3}.
b) O ponto de equilíbrio é \displaystyle x^* = \frac{200}{3}, que é assintoticamente estável.

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