Considere a equação em diferenças:
a) Encontre a solução geral;
b) Determine o ponto de equilíbrio e discuta a estabilidade.
b) Determine o ponto de equilíbrio e discuta a estabilidade.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação em diferenças
Esse é um problema de equação linear de primeira ordem com coeficiente constante. Para resolver, vamos decompor em solução homogênea e particular.
Passo 2
A parte homogênea satisfaz
que é uma progressão geométrica de razão
. Logo
onde
é constante determinada pela condição inicial.
Para a solução particular, procuramos uma constante tal que
Para a solução particular, procuramos uma constante
Isolando
vem
Passo 3
Somando as duas partes, a solução geral fica
Passo 4
O ponto de equilíbrio
é o valor constante que satisfaz
logo
Como o fator da parte homogênea é
, temos
quando
. Isso significa que qualquer solução converge para
, ou seja, o ponto de equilíbrio é globalmente assintoticamente estável.
Resposta
a)
b) O ponto de equilíbrio é , que é assintoticamente estável.
b) O ponto de equilíbrio é