Sabendo que
\ln \left(x^{A}+B\right)+\operatorname{cossec}(y)=c
\operatorname{com} A, B \in \mathbb{R}, é a solução geral implícita da EDO
2 x \operatorname{sen}^{2}(y)-\frac{d y}{d x}\left(x^{2}+10\right) \cos (y)=0
determine o valor de A+B. Ache as soluções constantes, se houver, que foram perdidas na solução da EDO.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
2x\sin^{2}(y)\;-\;\frac{dy}{dx}\,(x^{2}+10)\cos(y)\;=\;0
e informa que a solução geral implícita é
\ln\bigl(x^{A}+B\bigr)\;+\;\operatorname{cossec}(y)\;=\;c,
queremos descobrir A+B e também identificar as soluções constantes que podem ter sido perdidas.

Passo 2

Reescrevendo a EDO em forma separável, isolamos \tfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} =\frac{2x\sin^{2}(y)}{(x^{2}+10)\cos(y)}.
Agora separamos as variáveis x e y:
\frac{\cos(y)}{\sin^{2}(y)}\,dy =\frac{2x}{x^{2}+10}\,dx.

Passo 3

Integramos dos dois lados:
Lado de y:
\int \frac{\cos(y)}{\sin^{2}(y)}\,dy =\int \sin^{-2}(y)\cos(y)\,dy =-\frac{1}{\sin(y)} + C_{1} =-\operatorname{cossec}(y)+C_{1}.
Lado de x:
\int \frac{2x}{x^{2}+10}\,dx =\ln\bigl(x^{2}+10\bigr)+C_{2}.
Igualando as duas integrais (absorvendo C_{1}-C_{2} num único c), obtemos
-\operatorname{cossec}(y) =\ln\bigl(x^{2}+10\bigr)+c \;\Longrightarrow\; \ln\bigl(x^{2}+10\bigr)+\operatorname{cossec}(y)=C.

Passo 4

Comparando com
\ln\bigl(x^{A}+B\bigr)+\operatorname{cossec}(y)=c,
vemos que x^{A}+B=x^{2}+10. Logo
A=2,\quad B=10,
de onde
A+B=2+10=12.

Passo 5

Na separação de variáveis dividimos por \sin^{2}(y), logo perdemos as soluções em que \sin(y)=0. Verificando na EDO original para y=k constante dy/dx=0:
2x\sin^{2}(k)=0\quad\forall x \;\Longrightarrow\; \sin(k)=0 \;\Longrightarrow\; k=n\pi,\;n\in\mathbb{Z}.
Portanto as soluções constantes perdidas são
y(x)=n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.

Resposta

A+B=12.
As soluções constantes perdidas são y(x)=n\pi, n\in\mathbb{Z}.

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