Em cada item a seguir, resolva a EDO.
y^{2} \sqrt{1-x^{2}} y^{\prime}=\operatorname{arcsen}(x)

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
y^{2}\,\sqrt{1 - x^{2}}\;y' \;=\;\operatorname{arcsen}(x)
Este é um caso de equação separável. Vamos separar as variáveis y e x e integrar ambos os lados.

Passo 2

Reescrevendo y'=\frac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx} =\frac{\operatorname{arcsen}(x)}{y^{2}\,\sqrt{1-x^{2}}}
e, portanto, separando:
y^{2}\,dy =\frac{\operatorname{arcsen}(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y^{2}\,dy =\int \frac{\operatorname{arcsen}(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Do lado esquerdo, usando a primitiva de y^{2}:
\int y^{2}\,dy =\frac{y^{3}}{3}.

Passo 4

No lado direito, fazemos a substituição
t = \operatorname{arcsen}(x)\quad\Longrightarrow\quad dt=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}},
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\int \frac{\operatorname{arcsen}(x)}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx =\int t\,dt =\frac{t^{2}}{2} =\frac{\bigl(\operatorname{arcsen}(x)\bigr)^{2}}{2}.

Passo 5

Igualando as duas integrais e incluindo a constante de integração C:
\frac{y^{3}}{3} =\frac{\bigl(\operatorname{arcsen}(x)\bigr)^{2}}{2}+C.

Passo 6

Multiplicando por 3 e definindo C_{1}=3C, obtemos
y^{3} =\frac{3}{2}\,\bigl(\operatorname{arcsen}(x)\bigr)^{2}+C_{1},
e, finalmente, isolando y:
y =\Bigl(\tfrac{3}{2}\,(\operatorname{arcsen}(x))^{2}+C_{1}\Bigr)^{\!1/3}.

Resposta

y = \bigl(\tfrac{3}{2}\,(\operatorname{arcsen}(x))^{2} + C_{1}\bigr)^{1/3}.

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