Calcule as integrais:
integral x^4 d xx^3+2 x^2-x-2

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x^4 , dxx^3 + 2x^2 - x - 2.
Matéria envolvida: Cálculo Integral, especificamente a técnica de divisão polinomial e frações parciais.
O que vamos precisar: Saber como dividir polinômios e decompor frações racionais em frações parciais para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( x^4) é maior que o do denominador ( x^3). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial antes de integrar.

Passo 3

Vamos dividir x^4 por x^3 + 2x^2 - x - 2.
  • Dividindo x^4 por x^3, obtemos x.
  • Multiplicamos x pelo denominador: x cdot (x^3 + 2x^2 - x - 2) = x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x.
  • Subtraímos isso do numerador: (x^4) - (x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x) = -2x^3 + x^2 + 2x

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral x^4x^3 + 2x^2 - x - 2 , dx = x + integral -2x^3 + x^2 + 2xx^3 + 2x^2 - x - 2 , dx

Passo 5

Vamos focar na segunda parte da integral: integral -2x^3 + x^2 + 2xx^3 + 2x^2 - x - 2 , dx.
Percebemos que o numerador é quase o negativo do denominador, mas com algumas diferenças. Isso sugere que podemos reescrever a fração de maneira conveniente.

Passo 6

Reescrevemos o numerador:
-2x^3 + x^2 + 2x = -2(x^3 + 2x^2 - x - 2) + 5x^2 - 4x
Então, a integral fica:
integral -2(x^3 + 2x^2 - x - 2) + 5x^2 - 4xx^3 + 2x^2 - x - 2 , dx = integral ( -2 + 5x^2 - 4xx^3 + 2x^2 - x - 2 ) dx

Passo 7

Agora, a integral separa em duas partes:
integral ( -2 ) dx + integral 5x^2 - 4xx^3 + 2x^2 - x - 2 , dx
A primeira parte é fácil de integrar:
-2x

Passo 8

Focamos na segunda integral: integral 5x^2 - 4xx^3 + 2x^2 - x - 2 , dx.
Primeiro, precisamos fatorar o denominador x^3 + 2x^2 - x - 2.

Passo 9

Fatorando x^3 + 2x^2 - x - 2:
Tentamos encontrar uma raiz. Testando x = 1:
1 + 2 - 1 - 2 = 0 Rightarrow x = 1 é raiz é
Então, dividimos o polinômio por x - 1:
x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x - 1)(x^2 + 3x + 2)
E fatoramos mais:
x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
Portanto:
x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x - 1)(x + 1)(x + 2)

Passo 10

Agora, podemos decompor a fração 5x^2 - 4x(x - 1)(x + 1)(x + 2) em frações parciais:
5x^2 - 4x(x - 1)(x + 1)(x + 2) = Ax - 1 + Bx + 1 + Cx + 2
Multiplicando ambos os lados por (x - 1)(x + 1)(x + 2):
5x^2 - 4x = A(x + 1)(x + 2) + B(x - 1)(x + 2) + C(x - 1)(x + 1)

Passo 11

Expandimos e agrupamos termos para encontrar os coeficientes A, B e C:
Substituindo valores estratégicos:
  • Para x = 1: 5(1)^2 - 4(1) = A(2)(3) Rightarrow 5 - 4 = 6A Rightarrow A = 16
  • Para x = -1: 5(-1)^2 - 4(-1) = B(-2)(1) Rightarrow 5 + 4 = -2B Rightarrow B = -92
  • Para x = -2: 5(-2)^2 - 4(-2) = C(-3)(-1) Rightarrow 20 + 8 = 3C Rightarrow C = 283

Passo 12

Substituímos os valores de A, B e C na expressão de frações parciais:
5x^2 - 4x(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 16x - 1 + -92x + 1 + 283x + 2

Passo 13

Simplificamos as frações:
= 16(x - 1) - 92(x + 1) + 283(x + 2)

Passo 14

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 16(x - 1) , dx - integral 92(x + 1) , dx + integral 283(x + 2) , dx
Integrando:
16 ln|x - 1| - 92 ln|x + 1| + 283 ln|x + 2|

Passo 15

Juntando todas as partes, a integral inicial é:
x - 2x + 16 ln|x - 1| - 92 ln|x + 1| + 283 ln|x + 2| + C
Simplificando:
- x + 16 ln|x - 1| - 92 ln|x + 1| + 283 ln|x + 2| + C

Resposta

A integral integral x^4 , dxx^3 + 2x^2 - x - 2 é igual a:
- x + 16 ln|x - 1| - 92 ln|x + 1| + 283 ln|x + 2| + C
onde C é a constante de integração.

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