Calcule as integrais:
Passo 1
Vamos resolver a integral
.
Matéria envolvida: Cálculo Integral, especificamente a técnica de divisão polinomial e frações parciais.
O que vamos precisar: Saber como dividir polinômios e decompor frações racionais em frações parciais para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, observamos que o grau do numerador (
) é maior que o do denominador (
). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial antes de integrar.
Passo 3
Vamos dividir
por
.
- Dividindo
por , obtemos . - Multiplicamos
pelo denominador: . - Subtraímos isso do numerador:
Passo 4
Agora, a integral fica:
Passo 5
Vamos focar na segunda parte da integral:
.
Percebemos que o numerador é quase o negativo do denominador, mas com algumas diferenças. Isso sugere que podemos reescrever a fração de maneira conveniente.
Passo 6
Reescrevemos o numerador:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, a integral separa em duas partes:
A primeira parte é fácil de integrar:
Passo 8
Focamos na segunda integral:
.
Primeiro, precisamos fatorar o denominador
.
Passo 9
Fatorando
:
Tentamos encontrar uma raiz. Testando
:
Então, dividimos o polinômio por
:
E fatoramos mais:
Portanto:
Passo 10
Agora, podemos decompor a fração
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 11
Expandimos e agrupamos termos para encontrar os coeficientes
,
e
:
Substituindo valores estratégicos:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 12
Substituímos os valores de
,
e
na expressão de frações parciais:
Passo 13
Simplificamos as frações:
Passo 14
Agora, integramos cada termo separadamente:
Integrando:
Passo 15
Juntando todas as partes, a integral inicial é:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.