Em cada item a seguir, resolva a EDO.
y^prime=-3 x+5 y4 x+6 y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = -3x + 5y4x + 6y
Este é um caso de equação homogênea de primeira ordem, pois o membro direito é uma função de y/x. Vamos usar a substituição
v = yx,
de modo que y = vx e y' = v + x,dfracdvdx.

Passo 2

Substituindo y = vx em y' = -(3x+5y)/(4x+6y), obtemos
v + x,dvdx = -3x + 5(vx)4x + 6(vx) = -3 + 5v4 + 6v
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x,dvdx = -3 + 5v4 + 6v - v = -3 + 5v + v(4+6v)4 + 6v = -6v^2 + 9v + 34 + 6v

Passo 3

Separe variáveis escrevendo
3v+2(2v+1)(v+1),dv = -32,dxx,
onde usamos a fatoração 6v^2+9v+3=3(2v^2+3v+1)=3(2v+1)(v+1) e 4+6v=2(2+3v).

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo fazemos frações parciais:
3v+2(2v+1)(v+1) = 1v+1 + 12v+1
Assim
integrall(1v+1 + 12v+1r)dv = ln|v+1| + tfrac12ln|2v+1|
e no lado direito
integral -32,dxx = -32ln|x| + C

Passo 5

Reunindo resultados:
ln|v+1| + tfrac12ln|2v+1| + 32ln|x| = C
Voltando a v=y/x e simplificando os logaritmos, chega-se à forma implícita
ln|y+x| + tfrac12ln|2y+x| = C Longrightarrow (y+x)^2(2y+x)=K,
com K constante arbitrária.

Resposta

(y + x)^2,(2y + x)=K,
onde K é constante de integração.

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