Em cada item a seguir, resolva a EDO.
y^prime=xy e^-y^2x+yx

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
y'=xy,e^-y^2x+yx
O conteúdo principal é reconhecer que ela pode ser transformada numa equação linear em y usando fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a EDO na forma
dydx-yx=xy,e^-y^2x
Aqui vemos um termo -tfracyx multiplicando y, típico de uma equação linear em y.

Passo 3

O fator integrante para
dydx+P(x),y=Q(x,y)
com P(x)=-1x é
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(-integral1xdxr) =1x
Multiplicando toda a EDO por 1/x obtemos
1xdydx-yx^2 =1y,e^-y^2x
Por definição de fator integrante, o lado esquerdo é
ddxl(yxr) ,,
logo a equação vira
ddxl(yxr) =1y,e^-y^2x

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em :
Para avaliar

fazemos a troca de variável
.
Embora dependa de e de , o resultado final se expressa em termos da função integral exponencial
, definida por

Passo 5

O cálculo detalhado mostra que
(veja que a derivada de produz até constantes).
Substituindo em resulta na solução implícita

Resposta

que é a solução geral implícita da EDO.

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