Determinar a área do paraboloide z=x^2+y^2 que se encontra dentro do cilindro x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do paraboloide z=x^2+y^2 que está sobre o disco x^2+y^2<=4. O conteúdo envolvido é o cálculo de área de superfície de uma função z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy. A fórmula geral é
A=integral duplaDraiz1+l(fx(x,y)r)^2+l(fy(x,y)r)^2;dA

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x^2+y^2:
fx(x,y)=2x, fy(x,y)=2y
Logo o integrando fica
raiz1+(2x)^2+(2y)^2 =raiz1+4x^2+4y^2

Passo 3

Como a região D é o disco de raio 2, convém usar coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta. Então
A =integral0^2pi!integral0^2raiz1+4r^2;r,dr,dtheta =2piintegral0^2rraiz1+4r^2,dr

Passo 4

Para calcular integral0^2rraiz1+4r^2,dr usamos a substituição
u=1+4r^2, du=8r,dr, r,dr=du8
Quando r=0 temos u=1 e quando r=2 temos u=17. Assim
integral0^2rraiz1+4r^2,dr =integral1^17raizu8,du =18cdot23l[u^3/2r]1^17 =112l(17^3/2-1r)

Passo 5

Voltando ao cálculo de A, multiplicamos por 2pi:
A =2picdot112l(17^3/2-1r) =pi6l(17raiz17-1r)

Resposta

boxedA=pi6l(17raiz17-1r)

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