Considere a equação diferencial de primeira ordem
d yd x=y-x
(a) Resolva a equação diferencial.
(b) Determine a solução geral.

Passo 1

O enunciado traz uma equação diferencial de primeira ordem: dydx=y-x. O conteúdo aqui é equação linear do tipo dydx+P(x)y=Q(x), e vamos precisar do método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão subtraindo y de ambos os lados: dydx-y=-x. Aqui identificamos P(x)=-1 e Q(x)=-x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) como e^integral P(x),dx=e^integral(-1),dx=e^-x.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^-x, obtendo
e^-xdydx-e^-xy=-x e^-x
O lado esquerdo é a derivada do produto y,e^-x, ou seja
ddxl(y,e^-xr)=-x e^-x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^-x=integral(-x e^-x),dx
Para calcular integral(-x e^-x),dx, use integração por partes com u=-x e dv=e^-xdx, resultando em
integral(-x e^-x),dx=e^-x(x+1)+C

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por e^x para isolar y e obtemos a solução geral:
y(x)=x+1+Ce^x,
onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é y(x)=x+1+Ce^x.

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