Terifique a convergência de cada série abaixo. Justifique sua resposta.
sumk=1^infty k^57^k

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumk=1^inftyk^57^k
O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries numéricas. Para resolver, podemos usar o teste da razão (ou, alternadamente, o teste da raiz), pois temos um termo geral que envolve uma potência polinomial em k dividida por uma exponencial em k.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
ak = k^57^k
No teste da razão, investigamos o limite
L = limktoinfty|ak+1ak|
Se L<1, então a série converge absolutamente.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
ak+1ak = (k+1)^57^,k+1k^57^,k = (k+1)^5k^5cdot7^,k7^,k+1 = 17,gl(k+1kgr)^5

Passo 4

Agora, tomamos o limite quando ktoinfty:
L = limktoinfty17,l(1+1kr)^5 = 17cdot 1^5 = 17
Como tfrac17<1, o teste da razão garante que a série sum ak converge absolutamente.

Resposta

A série sumk=1^inftyk^57^k converge absolutamente, logo converge.

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