Terifique a convergência de cada série abaixo. Justifique sua resposta.
sumk=1^infty ln (k2 k+1)

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumk=1^infty lnl(tfrack2k+1r)
O conteúdo principal é teste de convergência de séries, e vamos precisar do teste da condição necessária de convergência (os termos gerais devem tender a zero).

Passo 2

Analisamos o termo geral
ak = lnl(tfrack2k+1r)
Para que uma série de termos ak convirja, é necessário que
limktoinfty ak = 0

Passo 3

Calculamos
limktoinfty lnl(tfrack2k+1r) = lnl(limktoinftytfrack2k+1r) = lnl(tfrac12r) neq 0

Passo 4

Como limktoinftyak = ln(tfrac12) não é zero, a série não satisfaz a condição necessária de convergência. Portanto, ela diverge.

Resposta

A série diverge.

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