Em cada item a seguir, resolva o PVI.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{1+3 x^{2}}{6 y^{2}} \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y'=\frac{1+3x^{2}}{6\,y^{2}},\\\ y(0)=1. \end{cases}
Trata-se de uma equação diferencial de variáveis separáveis: vamos isolar y de um lado e x do outro e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por 6y^{2}\,dx:
6\,y^{2}\,dy=(1+3x^{2})\,dx.
Agora integramos os dois lados:
\int 6\,y^{2}\,dy = \int (1+3x^{2})\,dx.
No lado esquerdo
\int 6\,y^{2}\,dy = 6\cdot \frac{y^{3}}{3} = 2\,y^{3},
e no direito
\int (1+3x^{2})\,dx = x + x^{3} + C.
Portanto obtemos a relação implícita
2\,y^{3} = x + x^{3} + C.

Passo 3

Use a condição inicial y(0)=1 para achar C. Substituindo x=0 e y=1 em
2\cdot 1^{3} = 0 + 0 + C
vem
C = 2.
Assim a solução implícita fica
2\,y^{3} = x + x^{3} + 2.

Passo 4

Isolando y para obter a solução explícita, dividimos por 2 e fazemos a raiz cúbica:
y^{3} = \frac{x^{3} + x + 2}{2} \quad\Longrightarrow\quad y = \biggl(\frac{x^{3} + x + 2}{2}\biggr)^{\!1/3}.

Resposta

y(x)=\Bigl(\tfrac{x^{3}+x+2}{2}\Bigr)^{1/3}.

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