Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine um intervalo em que a solução existe.
x y^prime+(x+1) y=x y(pi2)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
x,y'(x)+(x+1),y(x)=x, yl(tfracpi2r)=1
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos:
  1. Colocar na forma padrão y'+p(x),y=q(x).
  2. Encontrar o fator integrante mu(x).
  3. Integrar e aplicar a condição inicial para determinar a constante.

Passo 2

Colocando em forma padrão, dividimos ambos os lados por x (supondo xneq0):
y'(x)+x+1x,y(x)=1
Aqui p(x)=x+1x=1+1x e q(x)=1.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) =expl(integral p(x),dxr) =expl(integrall(1+tfrac1xr),dxr) =expl(x+ln|x|r) =|x|,e^x
Como nosso ponto inicial tfracpi2>0, tomamos mu(x)=x,e^x. Multiplicando a equação padrão por mu(x),
ddxl(mu(x),y(x)r) =mu(x),q(x) =x,e^xcdot1 =x,e^x
Integramos:
mu(x),y(x) =integral x,e^x,dx =(x-1),e^x + C
Logo,
y(x) =(x-1),e^x + Cx,e^x =x-1x+Cx,e^x

Passo 4

Usamos y(tfracpi2)=1:
1 =tfracpi2-1tfracpi2+C(tfracpi2)e^pi/2 =1-2pi+2Cpi,e^pi/2
Isolando C:
0=-2pi+2Cpi,e^pi/2 ;Longrightarrow; 2Cpi,e^pi/2=2pi ;Longrightarrow; C=e^pi/2
Logo a solução é
y(x) =1-1x+e^pi/2x,e^x =1-1x+e^pi/2 - xx

Passo 5

A existência e unicidade vêm do fato de p(x)=1+1x e q(x)=1 serem contínuas em qualquer intervalo que não contenha x=0. Como o ponto inicial é x0=tfracpi2>0, a solução existe e é única em todo intervalo contido em (0,+infty), sendo o máximo intervalo de existência (0,+infty).

Resposta

A solução do PVI é
y(x)=1-1x+e^pi/2 - xx,
e o intervalo de existência (e unicidade) que contém x=tfracpi2 é (0,infty).

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