Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine um intervalo em que a solução existe.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos:
- Colocar na forma padrão
. - Encontrar o fator integrante
. - Integrar e aplicar a condição inicial para determinar a constante.
Passo 2
Colocando em forma padrão, dividimos ambos os lados por
(supondo
):
Aqui
e
.
Passo 3
O fator integrante é
Como nosso ponto inicial
, tomamos
. Multiplicando a equação padrão por
,
Integramos:
Logo,
Passo 4
Usamos
:
Isolando
:
Logo a solução é
Passo 5
A existência e unicidade vêm do fato de
e
serem contínuas em qualquer intervalo que não contenha
. Como o ponto inicial é
, a solução existe e é única em todo intervalo contido em
, sendo o máximo intervalo de existência
.
Resposta
A solução do PVI é
e o intervalo de existência (e unicidade) que contém
é
.