Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine um intervalo em que a solução existe.
sen(x) y^prime+cos (x) y=e^x y(0)=2 pi

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
sin(x),y'(x)+cos(x),y(x)=e^x, y(0)=2pi,
que é uma equação diferencial de primeira ordem, linear em y, mas singular em pontos onde sin(x)=0. Para resolver precisamos:
  1. escrever na forma padrão y'+P(x)y=Q(x);
  2. encontrar fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx;
  3. obter a solução geral;
  4. tentar impor y(0)=2pi e discutir a existência de solução;
  5. indicar em que intervalos (onde sin(x)neq0) a solução faz sentido.

Passo 2

Dividindo a equação por sin(x) (desde que sin(x)neq0) obtemos
y'(x)+underbracecos(x)sin(x)=cot(x),y(x) =e^xsin(x)
Aqui P(x)=cot(x) e Q(x)=e^xcsc(x). O fator integrante é
mu(x)=exp!l(integral cot(x),dxr) =expl(ln|sin(x)|r) =|sin(x)|
Em um intervalo onde sin(x)>0 podemos tomar mu(x)=sin(x).

Passo 3

Multiplicando a equação padronizada por mu(x)=sin(x) temos
sin(x),y'(x)+cos(x),y(x) =e^xsin(x)cdotsin(x) ;Longrightarrow; ddxl(sin(x),y(x)r)=e^x
Integrando ambos os lados em relação a x,
sin(x),y(x)=integral e^x,dx =e^x + C,
logo a solução geral é
y(x)=e^x + Csin(x),
definida em qualquer intervalo onde sin(x)neq 0.

Passo 4

Agora tentamos impor a condição y(0)=2pi. Como sin(0)=0, o valor y(0) seria
y(0)=limxto0e^x + Csin(x) =limxto01 + C + (x+cdots)x+cdots =1+C0,
que só é finito se 1+C=0, ou seja C=-1. Neste caso
y(x)=e^x-1sin(x),
mas então
limxto0y(x) =limxto0e^x-1sin(x) =limxto0x+dotsx+dots=1 neq2pi
Portanto não existe constante C que faça y(0)=2pi. Concluímos que não há solução do PVI passando por x=0, pois o ponto inicial está na singularidade sin(x)=0.

Passo 5

Contudo, a solução geral
y(x)=e^x + Csin(x)
é válida em cada intervalo onde sin(x)neq0, por exemplo em
(0,pi),;(pi,2pi),;(-pi,0),;dots
Nesses intervalos a equação é regular e existe solução única para cada condição inicial colocada em um ponto com sin(x)neq0.

Resposta

O PVI dado não admite solução satisfazendo y(0)=2pi porque o ponto x=0 é singular ( sin(0)=0). A solução geral, válida em qualquer intervalo onde sin(x)neq0, é
y(x)=e^x + Csin(x)
Possíveis intervalos de validade são, por exemplo, (0,pi), (pi,2pi), (-pi,0) etc.

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