Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine um intervalo em que a solução existe.
2 y y^primey^2+1+2 x ln (y^2+1)=-5 x y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
2,y,y'y^2+1+2,x,lnl(y^2+1r)=-5,x, y(0)=1
Isso é um PVI de equação diferencial de primeira ordem. Vamos isolar y' e verificar que a equação é separável em x e y.

Passo 2

Isolando y':
2,y,y'y^2+1 =-5,x-2,x,lnl(y^2+1r) =-xl(5+2ln(y^2+1)r)
Logo
y' =y^2+12,y,l[-x(5+2ln(y^2+1))r] =-x;y^2+12,y;(5+2ln(y^2+1))
Podemos escrever
dydx =-x,y^2+12,y,l(5+2ln(y^2+1)r),
que é separável.

Passo 3

Separamos variáveis:
2,yy^2+1,dy5+2ln(y^2+1) =-x,dx
Fazemos a substituição
u=lnl(y^2+1r), du=2,yy^2+1,dy
A integral do lado esquerdo fica
integraldu5+2u =12integrald(5+2u)5+2u =12lnl|5+2ur|+C
Então
12lnl|5+2ln(y^2+1)r| =-x^22+C

Passo 4

Multiplicando por 2 e exponenciando,
lnl|5+2ln(y^2+1)r] =-x^2+C1 Longrightarrow l|5+2ln(y^2+1)r| =A,e^-x^2,
onde A=e^C1. Pelo valor inicial y(0)=1 temos ln(1^2+1)=ln2, então
5+2ln(1^2+1)=5+2ln2>0 Longrightarrow A=5+2ln2
Como 5+2ln(y^2+1) é positivo em x=0, mantemos o sinal “ +”:
5+2lnl(y^2+1r)=(5+2ln2),e^-x^2

Passo 5

Isolamos ln(y^2+1) e depois y:
2lnl(y^2+1r) =(5+2ln2),e^-x^2-5,
lnl(y^2+1r) =(5+2ln2),e^-x^2-52,
y^2+1 =exp!l((5+2ln2),e^-x^2-52r),
y(x) =raizexp!l((5+2ln2),e^-x^2-52r)-1,
escolhendo o sinal positivo para atender y(0)=1.

Passo 6

Para a solução ser real precisamos
exp!l((5+2ln2),e^-x^2-52r)-1>0 Long<=ftrightarrow (5+2ln2),e^-x^2-5>0 Long<=ftrightarrow e^-x^2>55+2ln2
Como 55+2ln2<1, isso equivale a
-x^2>ln!l(tfrac55+2ln2r) Long<=ftrightarrow x^2<-ln!l(tfrac55+2ln2r) =ln!l(tfrac5+2ln25r)
Logo a solução existe para
|x|<raizln!l(tfrac5+2ln25r)

Resposta

A solução do PVI é
y(x) =raizexp!l((5+2ln2),e^-x^2-52r)-1,
e ela está definida no intervalo
-raizlnl(tfrac5+2ln25r)<x<raizlnl(tfrac5+2ln25r)

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