Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine um intervalo em que a solução existe.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
Isso é um PVI de equação diferencial de primeira ordem. Vamos isolar
y' e verificar que a equação é separável em
x e
y .
Passo 2
Isolando
y' :
Logo
Podemos escrever
que é separável.
Passo 3
Separamos variáveis:
Fazemos a substituição
A integral do lado esquerdo fica
Então
Passo 4
Multiplicando por
2 e exponenciando,
onde
A=e^C1 . Pelo valor inicial
y(0)=1 temos
ln(1^2+1)=ln2 , então
Como
5+2ln(y^2+1) é positivo em
x=0 , mantemos o sinal “
+ ”:
Passo 5
Isolamos
ln(y^2+1) e depois
y :
escolhendo o sinal positivo para atender
y(0)=1 .
Passo 6
Para a solução ser real precisamos
Como
55+2ln2<1 , isso equivale a
Logo a solução existe para
Resposta
A solução do PVI é
e ela está definida no intervalo