Resolva as integrais abaixo:
integral x^3x^2-3 x+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^3x^2-3x+2 , dx. Estamos lidando com o conteúdo de integração de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar dividir os polinômios e talvez usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na forma da integral. O numerador é x^3 e o denominador é x^2 - 3x + 2. Vemos que o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (2). Quando isso acontece, precisamos fazer uma divisão polinomial antes de integrar.

Passo 3

Vamos dividir x^3 por x^2 - 3x + 2:
  1. Divisão inicial:
    • x^3 ÷ x^2 = x
    • Multiplica: x times (x^2 - 3x + 2) = x^3 - 3x^2 + 2x
    • Subtrai: x^3 - (x^3 - 3x^2 + 2x) = 3x^2 - 2x
  2. Divisão seguinte:
    • 3x^2 ÷ x^2 = 3
    • Multiplica: 3 times (x^2 - 3x + 2) = 3x^2 - 9x + 6
    • Subtrai: (3x^2 - 2x) - (3x^2 - 9x + 6) = 7x - 6
Então, temos:
x^3x^2 - 3x + 2 = x + 3 + 7x - 6x^2 - 3x + 2
Agora, a integral vira:
integral (x + 3) , dx + integral 7x - 6x^2 - 3x + 2 , dx

Passo 4

Vamos resolver a primeira parte da integral:
integral (x + 3) , dx = 12x^2 + 3x + C
Agora, focamos na segunda integral: integral 7x - 6x^2 - 3x + 2 , dx. Primeiro, vamos fatorar o denominador:
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Com isso, podemos usar frações parciais para simplificar a integral.

Passo 5

Queremos expressar 7x - 6(x - 1)(x - 2) como uma soma de frações menores:
7x - 6(x - 1)(x - 2) = Ax - 1 + Bx - 2
Multiplicando ambos os lados pelo denominador (x - 1)(x - 2), obtemos:
7x - 6 = A(x - 2) + B(x - 1)
Agora, vamos resolver para A e B.

Passo 6

Escolhemos valores de x que simplificam a equação:
  1. Para x = 2:
7(2) - 6 = A(0) + B(1) implies 14 - 6 = B implies B = 8
  1. Para x = 1:
7(1) - 6 = A(-1) + B(0) implies 7 - 6 = -A implies A = -1
Então, as frações parciais ficam:
7x - 6(x - 1)(x - 2) = -1x - 1 + 8x - 2

Passo 7

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral -1x - 1 , dx + integral 8x - 2 , dx = -ln|x - 1| + 8ln|x - 2| + C

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
12x^2 + 3x - ln|x - 1| + 8ln|x - 2| + C

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