Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Estamos lidando com o conteúdo de integração de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar dividir os polinômios e talvez usar frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na forma da integral. O numerador é
e o denominador é
. Vemos que o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (2). Quando isso acontece, precisamos fazer uma divisão polinomial antes de integrar.
Passo 3
Vamos dividir
por
:
-
Divisão inicial:
-
- Multiplica:
- Subtrai:
-
-
Divisão seguinte:
-
- Multiplica:
- Subtrai:
-
Então, temos:
Agora, a integral vira:
Passo 4
Vamos resolver a primeira parte da integral:
Agora, focamos na segunda integral:
. Primeiro, vamos fatorar o denominador:
Com isso, podemos usar frações parciais para simplificar a integral.
Passo 5
Queremos expressar
como uma soma de frações menores:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador
, obtemos:
Agora, vamos resolver para
e
.
Passo 6
Escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
Então, as frações parciais ficam:
Passo 7
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Resposta
Juntando tudo, a integral é: