Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine um intervalo em que a solução existe.
lsen(x) y^prime+cos (x) y=e^x y(0)=2 pi

Passo 1

O PVI é
sin(x),y'+cos(x),y = e^x, y(0)=2pi
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, mas note que em x=0 temos sin(0)=0, o que pode ser um ponto singular. Vamos ver o que isso implica.

Passo 2

Para aplicar o método de equação linear, precisamos de sin(x)neq0. Para xneq kpi podemos dividir a equação por sin(x) e escrevê-la em forma normal:
y' + cot(x),y = e^xsin(x)

Passo 3

O fator integrante mu(x) é
mu(x) = exp!l(integral cot(x),dxr) = exp!l(ln|sin(x)|r) = |sin(x)|
Escolhemos, num intervalo onde sin(x)>0 (por exemplo (0,pi)), mu(x)=sin(x).

Passo 4

Multiplicando a equação normal por sin(x) obtemos
sin(x),y' + cos(x),y = e^x Longrightarrow ddxl[sin(x),yr] = e^x
Integrando ambos os lados:
sin(x),y = integral e^x,dx = e^x + C Longrightarrow y(x) = e^x + Csin(x)

Passo 5

Agora tentamos impor y(0)=2pi. Mas ao aproximar xto0 temos sin(x)to0 e
y(x)=e^x+Csin(x)sim1+Cx,
Para y(x) não explodir, precisaríamos 1+C=0, ou seja C=-1, o que dá
limxto0y(x)=1
Isso contradiz y(0)=2pi. Logo não existe constante C que satisfaça a condição inicial no ponto singular x=0.

Passo 6

Concluímos que não existe solução do PVI com y(0)=2pi.
Entretanto, a solução geral
y(x)=e^x + Csin(x)
é válida em qualquer intervalo em que sin(x)neq0, por exemplo em (0,pi) ou em (-pi,0).

Resposta

Não existe solução que satisfaça y(0)=2pi.
A solução geral é
y(x)=e^x + Csin(x),
definida em intervalos nos quais sin(x)neq0 (por exemplo (0,pi) ou (-pi,0)).

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