Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine um intervalo em que a solução existe.
Passo 1
O PVI é
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, mas note que em
temos
, o que pode ser um ponto singular. Vamos ver o que isso implica.
Passo 2
Para aplicar o método de equação linear, precisamos de
. Para
podemos dividir a equação por
e escrevê-la em forma normal:
Passo 3
O fator integrante
é
Escolhemos, num intervalo onde
(por exemplo
),
.
Passo 4
Multiplicando a equação normal por
obtemos
Integrando ambos os lados:
Passo 5
Agora tentamos impor
. Mas ao aproximar
temos
e
Para
não explodir, precisaríamos
, ou seja
, o que dá
Isso contradiz
. Logo não existe constante
que satisfaça a condição inicial no ponto singular
.
Passo 6
Concluímos que não existe solução do PVI com
.
Entretanto, a solução geral
Entretanto, a solução geral
é válida em qualquer intervalo em que
, por exemplo em
ou em
.
Resposta
Não existe solução que satisfaça
.
A solução geral é
A solução geral é
definida em intervalos nos quais
(por exemplo
ou
).