Quais das seguintes integrais são impróprias? Justifique.
integral0^pi 1(raizx+1-cos x) d x

Passo 1

O enunciado pede identificar se
integral0^pi1raizx+1-cos x,dx
é uma integral imprópria. O conteúdo é análise de integrais impróprias por descontinuidade infinita do integrando em ponto de intervalo fechado.

Passo 2

O intervalo de integração é [0,pi], que é finito. Logo, a integral só pode ser imprópria se o integrando ficar não limitado em algum ponto de [0,pi]. Precisamos achar onde o denominador
raizx+1-cos x
se anula.

Passo 3

Resolvendo
raizx+1-cos x = 0,
observamos que em x=0 vale
raiz0+1-cos0 = 1 - 1 = 0
Para x>0 temos raizx+1>1 e cos x<=1, com igualdade só em x=0. Assim, a única singularidade é em x=0.

Passo 4

Analisamos o comportamento quando xto0^+. Usando expansão em série:
raizx+1=1+x2+O(x^2), cos x=1-x^22+O(x^4),
logo
raizx+1-cos x =x2+O(x^2),
e
1raizx+1-cos xsim2x,
que tende a infinito quando xto0^+.

Passo 5

Como o integrando fica não limitado em x=0, a integral é do tipo impróprio de primeira espécie (singularidade infinita na borda do intervalo).

Resposta

A integral
integral0^pi1raizx+1-cos x,dx
é imprópria, pois o denominador se anula em x=0 e o integrando diverge nesse ponto.

Exercícios relacionados