Quais das seguintes integrais são impróprias? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede identificar se
é uma integral imprópria. O conteúdo é análise de integrais impróprias por descontinuidade infinita do integrando em ponto de intervalo fechado.
Passo 2
O intervalo de integração é
, que é finito. Logo, a integral só pode ser imprópria se o integrando ficar não limitado em algum ponto de
. Precisamos achar onde o denominador
se anula.
se anula.
Passo 3
Resolvendo
observamos que em
vale
Para
temos
e
, com igualdade só em
. Assim, a única singularidade é em
.
Passo 4
Analisamos o comportamento quando
. Usando expansão em série:
logo
e
que tende a infinito quando
.
Passo 5
Como o integrando fica não limitado em
, a integral é do tipo impróprio de primeira espécie (singularidade infinita na borda do intervalo).
Resposta
A integral
é imprópria, pois o denominador se anula em
e o integrando diverge nesse ponto.